Correcció Anàlisi Matemàtiques

1. La funció f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 3

a. Té algun zero al interval [0,1] ? Justifica detalladament la resposta


Per respondre utilitzaré el teorema de Bolzano que diu :




Vegem quela funció donada compleix les hipòtesis del Teorema

La funció donada és una funció polinòmica i per tant continua en tot el seu domini i en concret al interval [0,1] que ens ocupa

f(0) = 3 if(1) = -4 i per tant f(0) ·f (1) < 0

Per tant com compleix les hipòtesis del Teorema podem afirmar que existeix al menys un zero de la funció al interval [0,1]

b. Podem afirmar que ésúnic aquest zero a l’interval [0,1] ? justifica detalladament la resposta


Per esbrinar-ho utilitzaré el Teorema de Rolle que diu :



Començaré per cercar els valors que fan zero la derivadaprimera

f’(x) = 3x2 – 6x – 5 = 0


Podem veure que cap d’aquests dos valors que fan zero la derivada primera, es troben al interval [0,1].


Ara suposaré que al interval [0,1] hi ha doszeros de la funció, que anomenaré x1 i x2 (f(x1) = f(x2) = 0). En aquest supòsit podria aplicar el Teorema de Rolle ja que

La funció donada és continua (ho hem vist abans) és derivable en tot elseu domini per ser funció polinòmica i per tant ho serà al interval [x1, x2 ]
f(x1) = f(x2)
Per tant segons el Teorema ha d’haver un valor c [x1, x2 ] tal que f( c ) = 0

Però tal com hem visten calcular els valors que fan zero la derivada , cap d’ells es troba en aquest interval.

Això ens porta a deduir que en l’aplicació del Teorema hem fet alguna cosa malament i aquesta ha estat elsuposar que havien dos zeros (x1 i x2 ) de la funció al interval [0,1] per tant podem afirmar que al interval [0,1] només hi ha un zero de la funció




c. Dibuixa una funció que nocompleixi les hipòtesis del Teorema de Bolzano en un determinat interval, però que sí tingui un zero en aquest interval. Justifica detalladament la resposta








La funció del gràfic, al...