correlación numero pi











TAREA N° 1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA INDUSTRIAL




Valparaíso, 6 de Diciembre de 2013.
INDICE

Uniformidad……………………………………………………………………………………………………………..……….2
Prueba Chi-cuadrado de bondad de ajuste………………………………………………………..……5
Prueba Kolmogorov-Smirnov de bondad de ajuste………………………………………………...7Correlación………………………………………………………………………………………………………………….…….8
Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………………..10

















UNIFORMIDAD
Es posible realizar, a partir de un determinado conjunto de datos, diversos análisis pertinentes desde el punto de vista de las estadísticas. Gracias al aporte de especialistas, y con ayuda de diversas herramientas matemáticas, actualmente se dispone de una inmensidad de funciones y teoremas que permiten realizar una aproximación de distintas muestras de variables aleatoriascontinuas y discretas, a un modelo específico.
En este caso en particular, se cuenta con una base de datos que contiene los primero 5000 dígitos del número PI (símbolo π), y es a partir de esta muestra que se pretende corroborar la siguiente hipótesis: “Los dígitos son uniformemente distribuidos”.
Probablemente, a modo de corroborar la uniformidad de los datos, la primera acción que se podríatomar es graficar el conjunto de datos.
Utilizando el software de código libre “R”, es posible realizar un gráfico simple, con el comando plot(), a continuación se expone el resultado.

Este gráfico prácticamente es “aire” para corroborar la hipótesis ya planteada, pues no se puede distinguir nada, salvo que se trata de una variable aleatoria discreta, información que se manejaba de antemano,dada la naturaleza del conjunto.
Entonces resulta necesario utilizar otro método gráfico, para tener a priori una percepción cualitativa de la distribución de los elementos del conjunto, a modo de visualizar qué tan correcta podría ser la hipótesis. Para ello resulta necesario construir un histograma, además de una tabla de frecuencias, que se exponen a continuación.


Tabla de frecuencias:
0
12
3
4
5
6
7
8
9
466
531
496
461
508
525
513
488
491
521

Ambas herramientas permiten entonces visualizar de una mejor manera la distribución de los datos, desde un análisis cualitativo del histograma se puede establecer que aparentemente la hipótesis es correcta, y esto se puede corroborar al observar la tabla de frecuencias, donde aparentemente la frecuencia de cada una delas clases oscila entre 461 y 525.
En efecto, basado en la bibliografía, es de esperarse que la frecuencia de cada una de las clases tenga un valor cercano a n*p, donde n es el total de mediciones (5000) y p la probabilidad de que en un ensayo aleatorio se obtenga alguno de los 10 valores descritos en la tabla, en este caso p es constante e igual a 0.1, entonces el valor esperado para cadafrecuencia es 500.
Otra herramienta importante es realizar un resumen de la muestra, desde donde se obtienen valores comunes e interesantes, como primer y tercer cuartil, media y mediana.

Min.
1st Qu.
Median
Mean
3rd Qu.
Max.
0.000
2.000
5.000
5.535
7.000
9.000

Si bien a simple vista pareciera que estos datos son irrelevantes para corroborar la hipótesis, en el fondo no lo son, pues alcontrario: en este caso la mediana es prácticamente igual a la media (mean), lo cual implica que la muestra presenta una distribución simétrica. Incluso los valores del primer y tercer cuartil corroboran la hipótesis de distribución geométrica, y además ambos dividen el conjunto de datos de manera uniforme, pues se tiene 3 clases entre 0 y 25% (0, 1 y 2) y otras 3 entre 75 y 100% (7, 8 y 9). Esteúltimo punto no resulta ser trivial, pues podría darse el caso en que la frecuencia de 1 sea tan alta, que probablemente la mediana se aleje de la media, y por ende el primer y tercer cuartil no dividirían la muestra del mismo modo que lo hacen en esta ocasión.
Ya se ha acudido a algunas herramientas...