Correlacion

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey

Iván Darío Vázquez Ramírez
A01191029
Angélica Vásquez Nogueda
A00811213
Estadística II
Grupo: #3
Ing. María Guadalupe Salmerón
Fecha: 20 de Febrero de 2013

Investigación #1

Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación es un índice utilizado para medir la relación lineal entre dosvariables, es decir, es un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables cuantitativas. Según Jay L. Devore, el coeficiente de correlación de X y Y, representado por Corr(X, Y) o ρxy(X,Y) se define por:
Donde:
* σXY es igual a la covarianza de (X,Y)
* σX es igual a la desviación estándar de X
* σy es igual a la desviación estándar de Y
Propiedades delcoeficiente de correlación
La primera propiedad es que el coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escala de medición. Por lo tanto, el coeficiente de correlación corrige el defecto de Cov(X, Y), y también sugiere cómo reconocer la existencia de una fuerte relación lineal, Lo primero se puede demostrar a través de la siguiente proposición.
σXY( aX +b, cY + d) = σXY (X,Y)
Lo que significaque el coeficiente de correlación no resulta afectado por un cambio lineal en las unidades de medición. Por ejemplo, si estamos realizando un estudio y tenemos como x como la temperatura en °C, sería lo mismo que tener 9x/5 +32 en grados °F.
La segunda propiedad es que el signo de correlación es el mismo que el de la covarianza por lo que si la covarianza es positiva entonces la correlación entrelas variables tiene una relación directa, y si la covarianza es negativa entonces la correlación es inversa. En el caso de que no haya covarianza o esta sea nula no existiría una correlación entre esas variables, lo que se puede ver en la fórmula mostrada al inicio.
La tercera propiedad se refiere a que el coeficiente de correlación es un número comprendido en el intervalo que va desde -1 a 1,incluyendo los límites del intervalo. Cuando el coeficiente toma valores cercanos a 1 se puede decir que la correlación va a ser fuerte y directa, por lo que ρ= +1 muestra la relación positiva más fuerte posible entre las variables. Mientras que cuando el coeficiente toma valores cercanos a -1 se puede decir que hay una correlación fuerte e inversa, por lo que la relación negativa más fuerteposible corresponde a ρ= -1. Por lo tanto, si el coeficiente toma valores cercanos a 0 significa que la correlación es débil. Sin embargo, cabe recalcar que un valor de ρ cercano a 1 no necesariamente implica que incrementar el valor de X ocasione que aumente la cantidad de Y. Esto sólo implica que valores grandes de X están relacionados con valores grandes de Y.
La cuarta propiedad se refiere a quepasa cuando el coeficiente de correlación ρ es igual a 1 o -1. El autor Jay Devore explica que ρ= -1 o 1si y solo si Y= aX +b para algunos números de a y b con a ≠ 0. Esta proposición establece que ρ es una medida de relación lineal entre X y Y, y sólo cuando las dos variables tienen una relación perfecta de una manera lineal ρ será tan positivo o negativo como puede ser. Una ρ menor a 1 en valorabsoluto solo indica que la relación no es completamente lineal, pero podría haber aún una relación no lineal muy fuerte. También ρ = 0 no significa que X, Y sean independientes, sino que solo hay una ausencia completa de una relación lineal. Por lo que cuando ρ=0 de dice que las variables X y Y no están correlacionadas. Aunque cabe resaltar que dos variables podrían no estar correlacionadas y sermuy dependientes porque hay una fuerte relación no lineal.
La quinta y última propiedad se refiera a que cuando las variables X y Y son independientes el coeficiente es igual a cero, pero cuando sólo se sabe que ρ=0 no se puede concluir que son independientes.

Coeficiente de correlación muestral
Para npares de observaciones existe una relación, la cual debe ser medida sin depender de las...