Corriente De Stokes
• Corriente de Stokes
• Placa oscilante en presencia de otra
• Problema de Rayleigh
MECÁNICA DE FLUIDOS
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Corriente de Stokes
La corriente de Stokes es un flujo unidireccional (laminar), no
estacionario, incompresible, viscoso y que se mueve sobre una placa
infinita (bidimensional), con una velocidad U(t)=U0cosωt. En ausencia de
un gradiente de presión motriz(despreciando la gravedad):
∂ u ∂ u
∂u
= l (t ) + µ 2 + 2
p
ρ
∂t
∂z
∂y
2
∂u
∂ 2u
=ν 2
∂t
∂y
u∞=0
2
y
u=U0·cosωt
c. contorno → u ( 0 ) U 0 cos ωt , u (∞) 0
=
=
Este flujo recibe el nombre de George Gabriel Stokes, matemático y
físico irlandés del siglo XIX.
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia de otra
Problema de Rayleigh
MECÁNICA DE FLUIDOS3
Corriente de Stokes
u∞=0
∂u
∂ 2u
=ν 2
∂t
∂y
c. contorno → u ( 0 ) U 0 cos ωt , u (∞) 0
=
=
y
u=U0·cosωt
Como buscamos soluciones periódicas, para facilitar la resolución, se escribirá u en forma compleja:
u = Real f ( y ) eiωt
c. contorno → f = U 0 , f (∞) 0
=
( 0)
Sustituyendo este valor de la velocidad u en la ecuación simplificada deNavier-Stokes, se tiene:
∂u
∂ 2u
∂ 2 f iωt
∂2 f
= ν 2 → iω f ·eiωt =
·e → iω f =
2
∂t
∂y
∂y
∂y 2
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia de otra
Problema de Rayleigh
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Corriente de Stokes
Esto convierte a la ecuación en una Ecuación Diferencial Ordinaria cuya solución general es:
∂2 f
y
iω f=
→ f= B1e
2
∂y
iω
ν
+ B2 e
−y
iων
Considerando la determinación:
f ( ∞ ) = 0 → B1 = 0
+ B2 e
f ( 0 ) = U 0 → B2 = U 0
ω
ω
− y 2ν + (ωt − y 2ν )i
iωt
= Real f ( y ) e Real U 0 e
u=
1+ i
y
i=
→ f = B1e
2
ω
2ν
(1+ i )
= U 0e
u
−y
−y
ω
2ν
(
ω
2ν
(1+ i )
cos ωt − y
ω
2ν
)
(*)
(*) Se ha considerado la igualdadtrigonométrica eix=cosx+i·sinx.
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia de otra
Problema de Rayleigh
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Corriente de Stokes
u
= U 0e
−y
ω
2ν
(
cos ωt − y
ω
2ν
)
Este movimiento tiene un carácter ondulatorio amortiguado, con una velocidad de propagación de
onda perpendicular a la pared de:
ω
= 2νω
ω
2ν
La parte exponencialproduce una amortiguación que hace que el efecto de la pared se perciba a
distancias del orden de:
δ
2ν
ω
Cuando y tome un valor de 2 o 3 veces δ, la velocidad u es prácticamente nula.
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia de otra
Problema de Rayleigh
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Corriente de Stokes
u
= U 0e
−y
ω
2ν
(
cos ωt − y
ω
2ν
)El esfuerzo comunicado a la placa por el flujo es:
∂u
∂y y =0
∂f ( y ) iωt
3π
iω iω
ρU 0 νω cos ωt −
e =t =
e
− µ·Real U 0
ν
4
∂y
y =0
τ =
µ· =µ·Real
Se puede observar que el esfuerzo sobre la placa está desfasado -3π/4 radianes respecto de la
velocidad de la placa.
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia deotra
Problema de Rayleigh
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Corriente de Stokes
u
=cos (ωt − η )
e −η
U0
6
ωt=0
ωt=π/8
5
6
donde: η =2ν
yω
5
ωt=π/4
ωt=3π/8
ωt=π/2
4
4
ωt=5π/8
ωt=7π/8
3
3
η
η
ωt=3π/4
exp(-η)
cos(0-η)
cos(π/8-η)
cos(π/4-η)
cos(3π/8-η)
cos(π/2-η)
cos(5π/8-η)
cos(3π/4-η)
cos(7π/8-η)
cos(π-η)
ωt=π
2
2
1
1
00
-1
-0,5
Corriente de Stokes
Placa oscilante en presencia de otra
Problema de Rayleigh
0
u/U0
0,5
1
-1
-0,5
0
0,5
exp(-η); cos(ωt-η)
1
MECÁNICA DE FLUIDOS
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Corriente de Stokes
Velocidad u (línea azul) y posición de las partículas
(puntos rojos) en función de la distancia a la pared.
u
=cos (ωt − η )
e −η
U0
donde: η =2ν
yω...
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