Cortaduras De Dedekind
Páginas: 5 (1014 palabras)
Publicado: 24 de septiembre de 2011
TEOREMA DE LAS CORTADURAS DE DEDEKIND
Dedekind introdujo su hoy celebrado concepto de ‘cortadura’ y su teoría de números
reales en su libro Continuidad y números irracionales. En este conocido libro Dedekind propuso establecer una sólida fundación para el cálculo infinitesimal, por medio de una definición consistente del continuo, formulada en términos estrictamente no geométricos.Dedekind notó que se podía basar el cálculo en el teorema que establece, que toda sucesión acotada, monótona ascendente tiene límite, pero que, sin embargo, este teorema no había sido en su opinión demostrado satisfactoriamente, y, por el contrario, se aceptaba por analogía, en base a una intuición geométrica.
La clave de la solución debería ser buscada en el concepto del continuo, visto como unconcepto de orden, y no bajo la analogía geométrica que era la usualmente aceptada.
El concepto de cortadura emerge de la aparentemente trivial observación, que todo punto de la recta divide a esta última en dos porciones, tales que todo punto perteneciente a una de ellas yace a la izquierda de todo punto perteneciente a la otra.
Adoptando un giro que se volvería rutina en sus futuros trabajos,Dedekind partió de esta propiedad de la recta y la transformó en definición general. Dedekind definió como cortadura (Schnitt) todo par de clases de números racionales X y X, que satisface las propiedades (1) a (3) descritas arriba y lo denotó por (X y X). Como vimos, todo número racional define una cortadura en forma natural. Pero Dedekind mostró que existen cortaduras adicionales, que no puedenser definidas de tal forma por un racional. Sea por ejemplo D un número racional que no es la raíz cuadrada de un natural, y defínase X como la clase de los racionales cuyo cuadrados son mayores que D, y X su complemento en los racionales. Obviamente ( X y X) es una cortadura, pero no existe racional que sea el máximo de X o el mínimo de X. Dedekind vio en la existencia de este tipo decortaduras, no generados por racionales, la esencia de la
discontinuidad de los irracionales. [Dedekind 1872,323-325]. Por el contrario si se define el sistema de los reales como la colección de todas las cortaduras de racionales, claramente uno obtiene un sistema continuo, similarmente a la recta y a diferencia del sistema de los racionales mismos.
Y, sin embargo, Dedekind hubiera quedadoprofundamente insatisfecho si su teoría de los números reales no conllevara más que una simple definición de dicho sistema.
En la evolución de esta teoría se distinguen tres etapas: la primera aparece influida por la
idea del número real como un objeto preexistente: cada número real produce una cortadura;
la cortadura define al número y éste determina a la primera. La segunda etapa
es la delpensamiento concreto: cada número real es una cortadura. La tercera etapa,
inaugurada por Hilbert, está dominada por el pensamiento axiomático: las cortaduras sirven
para probar que la noción de cuerpo ordenado completo es consistente con la aritmética de
los números racionales.
Definición. Llamamos cortadura a un conjunto (o clase) a de números racionales quesatisfaga las siguientes propiedades:
1. a ¹ Æ y a ¹ Q; es decir, a es un subconjunto propio de Q;
2. si r E a y s > r, entonces s E a; es decir, todo número mayor que un elemento de a pertenece también a a ;
3. a no tiene mínimo.
La clase complementaria a formada por los números racionales que no pertenecen a a, posee entonces la siguiente propiedad:
si rE a y s E a , entonces r < s.
En efecto, si fuera r ³ s, en virtud de (2) se tendría r E a.
Ordenación. Es fácil ver que para cualquier par de cortaduras se verifica alguna de las inclusiones:
a E b o bien b E a
(a elemento de b) o bien (b elemento de a).
En efecto, si a no está incluida en b, existe un número A en a que no está en b , y
por...
Dedekind introdujo su hoy celebrado concepto de ‘cortadura’ y su teoría de números
reales en su libro Continuidad y números irracionales. En este conocido libro Dedekind propuso establecer una sólida fundación para el cálculo infinitesimal, por medio de una definición consistente del continuo, formulada en términos estrictamente no geométricos.Dedekind notó que se podía basar el cálculo en el teorema que establece, que toda sucesión acotada, monótona ascendente tiene límite, pero que, sin embargo, este teorema no había sido en su opinión demostrado satisfactoriamente, y, por el contrario, se aceptaba por analogía, en base a una intuición geométrica.
La clave de la solución debería ser buscada en el concepto del continuo, visto como unconcepto de orden, y no bajo la analogía geométrica que era la usualmente aceptada.
El concepto de cortadura emerge de la aparentemente trivial observación, que todo punto de la recta divide a esta última en dos porciones, tales que todo punto perteneciente a una de ellas yace a la izquierda de todo punto perteneciente a la otra.
Adoptando un giro que se volvería rutina en sus futuros trabajos,Dedekind partió de esta propiedad de la recta y la transformó en definición general. Dedekind definió como cortadura (Schnitt) todo par de clases de números racionales X y X, que satisface las propiedades (1) a (3) descritas arriba y lo denotó por (X y X). Como vimos, todo número racional define una cortadura en forma natural. Pero Dedekind mostró que existen cortaduras adicionales, que no puedenser definidas de tal forma por un racional. Sea por ejemplo D un número racional que no es la raíz cuadrada de un natural, y defínase X como la clase de los racionales cuyo cuadrados son mayores que D, y X su complemento en los racionales. Obviamente ( X y X) es una cortadura, pero no existe racional que sea el máximo de X o el mínimo de X. Dedekind vio en la existencia de este tipo decortaduras, no generados por racionales, la esencia de la
discontinuidad de los irracionales. [Dedekind 1872,323-325]. Por el contrario si se define el sistema de los reales como la colección de todas las cortaduras de racionales, claramente uno obtiene un sistema continuo, similarmente a la recta y a diferencia del sistema de los racionales mismos.
Y, sin embargo, Dedekind hubiera quedadoprofundamente insatisfecho si su teoría de los números reales no conllevara más que una simple definición de dicho sistema.
En la evolución de esta teoría se distinguen tres etapas: la primera aparece influida por la
idea del número real como un objeto preexistente: cada número real produce una cortadura;
la cortadura define al número y éste determina a la primera. La segunda etapa
es la delpensamiento concreto: cada número real es una cortadura. La tercera etapa,
inaugurada por Hilbert, está dominada por el pensamiento axiomático: las cortaduras sirven
para probar que la noción de cuerpo ordenado completo es consistente con la aritmética de
los números racionales.
Definición. Llamamos cortadura a un conjunto (o clase) a de números racionales quesatisfaga las siguientes propiedades:
1. a ¹ Æ y a ¹ Q; es decir, a es un subconjunto propio de Q;
2. si r E a y s > r, entonces s E a; es decir, todo número mayor que un elemento de a pertenece también a a ;
3. a no tiene mínimo.
La clase complementaria a formada por los números racionales que no pertenecen a a, posee entonces la siguiente propiedad:
si rE a y s E a , entonces r < s.
En efecto, si fuera r ³ s, en virtud de (2) se tendría r E a.
Ordenación. Es fácil ver que para cualquier par de cortaduras se verifica alguna de las inclusiones:
a E b o bien b E a
(a elemento de b) o bien (b elemento de a).
En efecto, si a no está incluida en b, existe un número A en a que no está en b , y
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