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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

βx + ϕ = ς

Entender las ecuaciones requiere conocer claramente algunos conceptos que son comunes a
todo tipo de ecuación:
Constante: Son términos que toman valores fijos, en álgebra se utilizan por lo general las
primeras letras del alfabeto: a, b, c, … Todos los números en esencia son constantes, por
ejemplo en la expresión ax 2 + bx + c los términos a, b, cson constantes.
Variable: Se considera todo aquello que puede cambiar, en Matemáticas por lo general se
utilizan las últimas letras del alfabeto x, y, z w,… para el caso de ax 2 + bx + c , la variable es x,
otro caso por ejemplo, la expresión: ax 2 + bxy + cy 2 = 0 , las variables son x e y.
A manera de ejercicio identifique las variables y constantes en las siguientes ecuaciones, será
unejercicio muy motivante.

om

4x3 +5y2 −7z = 0

ic

a1

.c

ax3 +by2 + pw= 0

em
at

Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar de la siguiente manera:

w
w

w

.M

at

Ecuaciones de primer grado con una incógnita: 4 x − 5 = x + 2
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: 4 x − 3 y = 0
Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: 7 x − 6 y + 2 z = 1
Asísucesivamente.
Por lo general, la solución de ecuaciones se enmarca dentro del conjunto de los reales,
exceptuando los casos donde la solución no es real, como el caso donde la solución presenta
raíces con índice par de cantidades negativas.
Leyes de Uniformidad:
Es pertinente recordar las leyes de uniformidad, que son muy útiles a la hora de resolver
ecuaciones.

SUMA Y PRODUCTO:
Seana, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
1.
2.
3.
4.

a+c=b+d
a+c=b+c
axc= bxd
axc=bxc

7

RESTA Y COCIENTE:
Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
5.
6.
7.
8.

a-c=b-d
a-c=b-c
a/c= b/d
a/c=b/c

Para c ≠ 0
Para c ≠ 0

POTENCIA Y RAIZ:
Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
9. ac = bd
10. ca =da
11. c a = c b Para a ≥ 0 además c є Z+ y c ≥ 2
Ley del producto nulo:
Sean a y b números reales, entonces:

at
ic

a1
.

co
m

12. a x b = 0 si, y solo si, a = 0 ó b = 0

at
e

m

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA:

w

w

w

.M

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son de la forma ax + b = c , siendo a, b y c
las constantes y x la variable.El valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero.
Ejemplos de este tipo de ecuaciones: 3x − 5 = 0 que corresponde a una ecuación de
1
2
coeficiente entero y expresión entera.
x − = 0 , ecuación de coeficiente racional y
3
5
3x − 2
expresión entera.
= 8 , ecuación de coeficiente entero y expresión racional.
5
Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque aincógnita (variable) tiene como
exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto quiere decir que éste tipo de
ecuaciones tienen “Una Sola solución”.
Resolución: Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se pueden resolver por
diversos métodos, se analizarán algunos, siendo el método axiomático el más recomendado.
METODO EGIPCIO: Conocido también como la Regula Falsa. En algunoslibros egipcios y
chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones llamado Regula Falsa o Falsa
Posición. El método consiste que a partir de la ecuación dada, se propone una solución
tentativa inicial, la cual se va ajustando hasta obtener la solución más aproximada.
El principio es que dada la ecuación, ax = b suponemos una solución tentativa xo,
reemplazando en la ecuación así:axo = b, como no se cumple esta solución, se hace un

8

ajuste de la siguiente manera: x1 =

b
x o la cual es una solución de la ecuación original, ya
bo

b 
que: a  xo  = b Siendo bo el valor obtenido para xo
 bo 
Algunos ejemplos nos pueden aclarar este método.
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación: x +
Solución:

x
= 12
4

Proponemos como xo = 4 , luego: 4 +
así: x1 =...