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Álgebra y Geometría Analítica

Curso de ambientación 2013

Los conjuntos numéricos IN, Z, Q y IR
El conjunto IN de los números naturales es aquel que contiene los números que nos sirven para
contar o bien para ordenar elementos, haciendo abuso de notación podemos decir que: IN = { 0,
1, 2, 3, ... }, en ocasiones el cero es excluido del conjunto IN, pero eso es sólo una convención
que sedebe establecer de antemano, nosotros consideraremos al cero como número natural.
El conjunto Z de los números enteros contiene a los números naturales (los que suelen
denominarse enteros positivos) y a sus opuestos (los que se denominan enteros negativos), si
hacemos abuso de notación se puede decir que: Z = { .., -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ... } . Para todo número
entero existe su opuesto únicoinclusive para el cero, que es opuesto de si mismo. Otra
característica de este conjunto es que siempre es posible determinar el antecesor y el sucesor de
cualquier entero, además entre dos consecutivos no existe ningún otro entero.
Si incorporamos al conjunto de los enteros los números fraccionarios (decimales o no) se
determina el conjunto Q de los números racionales, ya no es posible enumerarlos elementos de
Q, ni haciendo abuso de notación, entre dos números racionales existen infinitos racionales, lo
que nos indica que no se puede conocer el antecesor ni el sucesor de ninguno de ellos. Se dice
entonces que Q es un conjunto denso.
Si a este conjunto Q de los números racionales unimos el conjunto de los números irracionales
(por ejemplo las raíces no exactas como 2 , o losnúmeros π, e, entre otros) queda determinado
el conjunto de los números reales IR.
Este conjunto IR de los números reales también es denso y además completo, lo que permite,
definiendo una escala, establecer una biyección entre él y una recta denominada entonces recta
numérica. En ella es posible representar a los infinitos números reales por medio de sus infinitos
puntos.
Si consideramos partes osubconjuntos de los conjuntos numéricos que hemos nombrado
tendríamos por ejemplo, el conjunto A expresado por comprensión:
A = { x / x ∈ IN ∧ x < 5 } el que puede darse por extensión como A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
B = { x / x ∈ IR ∧ x < 5 } en este caso es imposible nombrar los infinitos elementos de B, ni
abusando de notaciones ya que no es factible nombrar dos reales consecutivos. Entre doscualesquiera de ellos hay infinitos números reales por más próximos que nos parezcan. De aquí
surge el concepto de intervalo real: como una parte o subconjunto del conjunto IR, si retomamos
el ejemplo de B, puede darse como el conjunto que contiene a los infinitos reales menores a 5 ,
B = ] - ∞ , 5 [ que denota como un intervalo abierto de números reales.
Si los representamos en la rectanumérica:
A
0
B

1

2

3

4
o

5

Veamos otros ejemplos:
A = { x / x ∈ IN ∧ 2 ≤ x < 5 } o bien A = { 2, 3, 4 } , es posible nombrar todos sus elementos.

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Curso de ambientación 2013

B = { x / x ∈ IR ∧ 2 ≤ x < 5 } es el intervalo real que contiene a los infinitos números reales
desde 2, inclusive, hasta 5, sin él, lo que se anota así: B = [ 2, 5[ , intervalo real cerrado en 2 y
abierto en 5.

Si los representamos en la recta numérica:

A
2

B

3

4

º
5

2

M = { x / x ∈ Z ∧ - 3 ≤ x ≤ 6 } o bien M = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, se pueden nombrar
todos los elementos de M.
P = { x / x ∈ IR ∧ - 3 ≤ x ≤ 6 } intervalo que contiene a los infinito reales desde –3 hasta 6,
inclusive ellos, o bien anotarlo P = [ -3,6 ] , intervalo cerrado de –3 a 6
En la recta numérica se pueden representar:

M
-3 -2 -1

0 1

2

3

4

5 6

P
-3

6

Vemos como el hecho de nombrar a los intervalos como abiertos o cerrados está relacionado con
que el elemento pertenezca o no al subconjunto, si decimos por ejemplo “x < 5”, 5 no pertenece al
conjunto, en este caso lo denominamos intervalo abierto en 5,...