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TEMA 2. ECUACIONES Y SISTEMAS. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
CONOCIMIENTOS
PREVIOS

CONTENIDOS 1ª PARTE
1) APLICACIONES DEL BINOMIO DE NEWTON.
2) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR
QUE DOS.
3) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS.
4) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES.
5) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y
RADICALES.
6)RESOLUCIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES.
7) SISTEMAS LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.
8) PLANTEMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE
ECUACIONES Y SISTEMAS.
9) DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES CON UN
PARÁMETRO APLICANDO EL MÉTODO DE GAUSS.
10) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES.
11) RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARITMICAS.
12) RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y/OLOGARÍTMICOS.
13) APLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.

Aplicación de la regla de
Ruffini al cálculo de raíces y a
la factorización de polinomios.
Fracciones algebraicas:
Simplificación y operaciones.
Ecuaciones de segundo grado
y bicuadradas.
Binomio de Newton.

OBJETIVOS
Reconocer y resolver distintos
tipos de ecuaciones.
Reconocer y resolver sistemas
nolineales con dos incógnitas.
Reconocer y resolver sistemas
aplicando el método de Gauss.
Reconocer, discutir y resolver
sistemas lineales con un
parámetro (casos sencillos).
Aplicar las ecuaciones y los
sistemas al planteamiento y
resolución de problemas.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

0. CONOCIMIENTOS PREVIOS
1) Factorización de polinomios.
Si

P ( x ) = bn x n + bn−1 x n −1 + ... + b1 x+ b0

y a1, a2, ... an son sus ceros, entonces P(x) se puede escribir como

P( x) = bn ⋅ ( x − a1 ) ⋅ ( x − a2 ) ⋅ ... ⋅ ( x − an )
Sacaremos factor común a la variable siempre que sea posible. Ello indicará que el cero ya es una raíz/cero de
2
3
ese polinomio. Y será doble, triple, … dependiendo de que saquemos factor común x , x , …respectivamente.
EJEMPLO 1. P(x) = 2x4 + 15x3 + 31x2 +12x= x(2x3 + 15x2 + 31x + 12)
Buscaremos sus raíces enteras aplicando la regla de Ruffini a los divisores del término independiente (si éste
fuera cero, nos hemos saltado el paso anterior) tantas veces consecutivas como sea posible.
4

3

2

2

P(x) = 2x + 15x + 31x + 12x = x(x + 3)(2x + 9x + 4)
Cuando Ruffini no permite la factorización, ó ya se haya agotado, habrá que tenerpresentes:
Los ceros/raíces de un polinomio de grado 2 son las soluciones de la ecuación de segundo grado asociada y
su descomposición factorial se ajusta al modelo anterior. Ejemplo.
1 
1

2
R( x ) = 6 x − 5 x + 1 = 6 ⋅  x −  ⋅  x − 
3 
2


4

3

2

2

P(x) = 2x + 15x + 31x + 12x = x(x + 3)(2x + 9x + 4) = x(x + 3)2(x + 4)(x + ½)
Las igualdades notables, que ya factorizanexpresiones algebraicas. Ejemplos:

(

)(

)

T ( x) = x 4 − 4 = x 2 + 2 ⋅ x 2 − 2 ; Q ( x ) = 9 x 2 − 12 x + 4 = (3 x − 2 ) con una raíz doble
2

EJERCICIO 1. Factorizar los siguientes polinomios:
6

5

4

3

2

2

a) P(x)=4x +8x -3x -7x -2x Sol: x (x-1)(x+2)(2x+1)
3
2
2
b) P(x)=x -2x +x-2 Sol: (x-2)(x +1)
3

2

c) P(x)=2x -8x +2x+12 Sol: 2(x+1)(x-2)(x-3)

2

32

d) P(x)=3x -8x -20x+16 Sol: (x+2)(x-4)(3x-2)
3
2
e) P(x)=12x+2x +4+9x SoL: (x+2)2(2x+1)
5
4
3
2
f) P(x)=2x +10x +28x +32x Sol: 2x2(x+2)(x2+3x+8)

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Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

2) Fracciones algebraicas. Simplificación y operaciones.
Aplicación de la factorización de polinomios a la simplificación de fracciones algebraicas.
2
EJEMPLO 2. Simplificar: a) 3ab − ab
9ab − 3ab

(2x + 5)2 − (x + 4) ⋅ (2x + 5)

b)

x2 − 1

a)
3a2b − ab
9ab − 3ab

b)

=

↓
reducimos
tér min os
semejantes
en
deno min ador

3a2b − ab
ab(3a − 1)
=
↓
6ab
6ab
factorizamos
numerador

(2x + 5)2 − (x + 4) ⋅ (2x + 5)
x −1
2

c)

x+4

=

↓
factor
común
en
numerador;
identidad
notable
en
deno min ador

=

↓
4x 2
(2x + 5)2 −...