Cosas

Capitulo 5. Sistemas de Partículas
En este capítulo se generalizan los resultados de los capítulos anteriores a sistemas que están compuestos por más de una partícula. Cualquier gas, líquido o sólido macroscópico, en realidad formado por átomos y moléculas, se puede considerar un sistema de partículas microscópicas. En principio, es posible estudiar tales sistemas analizando el movimiento decada partícula por separado y sus interacciones. Sin embargo, este análisis resultaría excesivamente complejo, a causa del gran número de partículas asociadas a cualquier sistema macroscópico, aún en el caso de sistemas muy simples. Afortunadamente existen propiedades generales, válidas para cualquier sistema de partículas, que simplifican grandemente el estudio y comprensión de las propiedades delos cuerpos macroscópicos. 5.1 Centro de Masa Centro de masa de dos partículas En la figura, las partículas de masa m1 y m2 se encuentran a una distancia x1 y x2 del origen de un sistema de referencia arbitrario.

m1
0 x1

m2

x2

El centro de masa de las dos partículas se define como el “promedio pesado” de las posiciones de las partículas; m x + m2 x 2 (5.1.1) xcm = 1 1 m1 + m2 Es posibledemostrar que cuando se toma otro origen de coordenadas, la posición del centro de masa así definido no cambia con relación a la posición de las partículas.
Expresado de otra forma, la posición del centro de masa no depende del sistema de referencia considerado.

Note que la posición del centro de masa usualmente no coincide con la posición de ninguna de las dos partículas. Por ejemplo, si m1= m 2 , de la expresión anterior se ve inmediatamente que el CM se encuentra en el punto medio de ambas partículas. Haciendo m1 = m2 en (5.1.1), xcm =
x1 + x 2 2
CM

Solamente en el caso de que la masa de una de las partículas sea mucho mayor que la otra, el CM coincidirá prácticamente con la posición de la partícula. Así, considerando m1 >> m2 en (5.1.1), dividiendo por m1 y aplicando límites(m2/ m1 ≈ 0): m x1 + 2 x 2 m1 xcm = ≈ x1 . m 1+ 2 m1

Dr. Arnaldo González Arias, Dpto. Física Aplicada, UH.

arnaldo@fisica.uh.cu

parteI, Cap. 5. Pag.

1

Centro de Masa de N Partículas Ubicadas Sobre una Recta

La expresión para N partículas de masas m1, m2, m3... mN, ordenadas a lo largo de una recta en las posiciones x1, x2, x3, ... xN , se obtiene generalizando la definición(5.1.1): xcm = que también puede expresarse como

m1x1 + m2 x 2 + m3 x3 + ... + mNxN m1 + m2 + m3 + ... + mN

xcm =

∑m x M
1
i =1

N

i i

donde M =

∑m
i =1

N

i

es la masa total del sistema.

Centro de Masa de N Partículas en Tres Dimensiones
m1

Cuando las partículas están ubicadas en cualquier posición del espacio, la definición del centro de masa del sistema departículas queda como:

m2 m3

rcm =

1 M

∑m r
i =1

N

ii

(5.1.2)

donde ri = xi i + yi j + zik es el vector de posición de la partícula i , y el vector de posición del CM tiene la forma
rcm = x cm i + y cm j + zcmk

Sustituyendo los vectores correspondientes en (5.1.2) y agrupando términos, se llega a tres ecuaciones independientes, una por cada eje coordenado:

mizi M i=1M i=1 M i=1 De manera similar a como ocurre en una dimensión, también es posible demostrar que en el caso tridimensional la posición del CM no depende del origen ni del sistema de referencia considerado, sino sólo de la posición relativa de las partículas.
xcm = ycm = zcm =
Centro de Masa de un Cuerpo Continuo

1

∑

N

mi xi ;

1

∑

N

mi yi ;

1

∑

N

Cualquier cuerpocontinuo siempre puede subdividirse mentalmente en cubículos o celdas tan pequeñas como se desee, y considerar cada una de esas celdillas como una partícula de masa Δmi. En la figura, M = ∑Δmi es la masa total del cuerpo. Para calcular la posición del CM habría que aplicar (5.1.2), sumando para todas las porciones de masa Δmi ;

Δmi

ri

M

rcm =

1 M

∑ rΔm
i i =1

N

i

Dr....