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DEMOSTRACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Transformaciones trigonométricas. Para cualesquiera valores x, y ∈ R se verifica que

⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ 1)senx + seny = 2 ⋅ sen⎜ ⎟ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ 2) senx − seny = 2 ⋅ cos⎜ ⎟ ⋅ sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ 3) cos x + cos y = 2 ⋅ cos⎜ ⎟ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ 4) cos x −cos y = −2 ⋅ sen⎜ ⎟ ⋅ sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Demostración Actuamos en cada caso independientemente aunque con la misma estrategía: ⎛x− y⎞ ⎛x+ y⎞ 1) senx + seny = 2 ⋅ sen⎜ ⎟ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Por lasfórmulas de adición trigonométricas sabemos que para cualesquiera a, b ∈ R se verifican las siguientes igualdades:

1) sen(a + b) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senb 2) sen(a − b) = sena ⋅ cos b − cos a ⋅senb Sumando ambas expresiones: sen(a + b) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senb +

sen(a − b) = sena ⋅ cos b − cos a ⋅ senb ______________________________________ sen(a + b) + sen(a − b) = 2 ⋅ sena ⋅ cos b(1)

Si hacemos el cambio x = a + b e y = a – b entonces,
x + y⎫ a= a + b = x⎫ 2a = x + y ⎫ 2 ⎪ ⎬ ⇔ ⎬ ⇔ x− y⎬ a − b = y⎭ 2b = x − y ⎭ ⎪ b= 2 ⎭

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De este modo, tomando de nuevo la igualdad (1) y realizando el cambio: ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ sen(a + b) + sen(a − b) = 2 ⋅ sena ⋅ cos b ⇔ senx + seny = 2 ⋅ sen⎜⎟ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ como se pretendía demostrar. ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ 2) senx − seny = 2 ⋅ cos⎜ ⎟ ⋅ sen⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Por las fórmulas de adición trigonométricas sabemos que para cualesquiera a, b ∈ R severifican las siguientes igualdades: 1) sen(a + b) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senb 2) sen(a − b) = sena ⋅ cos b − cos a ⋅ senb Restando ambas expresiones:

sen(a + b) = sena ⋅ cos b + cos a ⋅ senbsen(a − b) = sena ⋅ cos b − cos a ⋅ senb ______________________________________ sen(a + b) − sen(a − b) = 2 ⋅ cos a ⋅ senb
Si hacemos el cambio x = a + b e y = a – b entonces,
x + y⎫ a= a + b = x⎫...