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Sistemas de control 67-22

Versión 2003

Estabilidad de Sistemas Método de Routh
Se analizarán temas relacionados con la estabilidad de los sistemas lineales; la misma es
una propiedad inherente del sistema y no depende del tipo de señal que ingresa al mismo.
Interesan los sistemas de lazo cerrado ya que debido a la realimentación pueden
inestabilizarse; el estudio de los polos de lazocerrado y su ubicación en el plano complejo es
muy importante. Un análisis matemático demuestra que polos ubicados en el semiplano derecho
provocan respuestas de amplitud creciente (sistema inestable); en cambio si los polos están
ubicados en el semiplano izquierdo (parte real negativa) cualquier respuesta transitoria tiende a
estabilizarse, ya sea adoptando un valor finito o bien algo periódicopero acotado (sistema
estable).
¿Qué ocurre con los polos ubicados sobre el eje imaginario?, de nuevo un análisis
matemático muestra que un simple impulso provoca oscilaciones de amplitud estable, aunque en
casos reales, si la ganancia del sistema es muy grande pueden ponerse en evidencia polos no
considerados en el modelo , o bien el ruido en la señal puede complicar la situación, así no esrecomendable tener polos sobre el eje imaginario “jω”.
Antes de comenzar el análisis conviene aclarar los términos de estabilidad absoluta y relativa.
La primera se refiere a un sistema dado con sus parámetros ajustables con valor
definido, mientras que la segunda implica que al menos algún parámetro ajustable es variable en
particular el factor de amortiguamiento relativo pseda cuyainfluencia se destaca en el máximo
sobre - impulso como vimos en el análisis de la respuesta transitoria y modifica el tamaño de las
oscilaciones del sistema en los transitorios.

Criterio de Routh
Como se dijo antes, el objetivo es analizar los polos de la transferencia de lazo cerrado:
C
G
=
R 1+ G ⋅ H
ó lo que es lo mismo los ceros de la ecuación característica del sistema (en general es unpolinomio en s):

1+ G ⋅ H = 0

(1)

Encontrar las raíces de (1) puede resultar difícil si es de un grado superior al 2 o 3;
afortunadamente existe un método que evalúa la existencia de raíces con parte real positiva, o
sea polos de la transferencia de lazo cerrado en el semiplano derecho. Nos referimos al criterio
de Routh, es útil tener en cuenta que sólo nos brinda información acercade la estabilidad
absoluta; el método algebraico, no entraremos en la demostración del mismo ,lo describiremos
con ejemplos. Usaremos la siguiente nomenclatura para los coeficientes de la ecuación
característica.

ao . sn + a1 . sn-1 + a2 . sn-2 + ... + a n-1 . s1 + an . s0 = 0
Se ordena el polinomio en potencias decrecientes, la primera condición es que los
coeficientes aj sean todos delmismo signo lo que implica que la ecuación se puede escribir con
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todos los signos positivos en definitiva, si hubiese alguno que fuese cero se lo reemplaza por un
infinitésimo Epsilon .
Se construye una matriz con los coeficientes del polinomio y con otros que calcularemos , en la
primer fila van los coeficientes pares en el ordende potencias crecientes, en la segunda fila los
coeficientes impares.
Los coeficientes de las filas siguientes se calculan a partir de las dos filas precedentes como la
diferencia de productos de diagonales según se indica en la figura divida por el pivote , elemento
marcado por círculos en la figura.

Para calcular b1 aplicamos la siguiente fórmula (ver flechas indicadas en la figura)

b1= (a1. a2 – ao . a3 ) / a1
Para calcular b2 aplicamos la siguiente fórmula (ver flechas indicadas en la figura)

b2 = (a1. a4 – ao . a5 ) / a1
y así sucesivamente todos los b hasta que comiencen a aparecer valores nulos.
Se continúa entonces con la siguiente fila de igual modo por ejemplo veamos la expresión del
coeficiente c1 para el que corresponde b1 como pivote.

c1 = (b1. a3 – a1 ....