Cosmos456
Páginas: 22 (5259 palabras)
Publicado: 11 de noviembre de 2011
Tabla de Contenidos
LA GEOMETRÍA DEL TAXISTA. ___________________________________________________ 3
UNIDAD DIDÁCTICA. EL TEOREMA DE PITÁGORAS. __________________________________ 7
1. Introducción. 7
2. Objetivos didácticos. 8
3. Contenido. 8
3.1. Pitágoras y los Pitagóricos. 8
3.2. Conocimientos Previos. Concepto de Área. 10
3.2.1. Concepto de Área y PropiedadesBásicas. 10
3.2.2. Áreas de algunas figuras geométricas. 11
3.3. Teorema de Pitágoras. Enunciado y Demostraciones. 12
3.4. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas. 15
3.5. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en otros campos. 17
3.6. Recíproco del teorema de Pitágoras. 18
3.7. Cuadrados mágicos pitagóricos. 19
3.8. Aplicación a lasraíces cuadradas. 19
3.9. Ejercicios para el alumno. 20
4. Metodología. 20
5. Materiales. 21
6. Evaluación. 21
7. Bibliografía. 22
La geometría del taxista.
Como ejercicio sobre este tema del curso proponemos aquí el modelo de una geometría no euclídea distinta de la hiperbólica. En esta geometría se verifican todos los axiomas que hemos expuesto en la sección anterior menosuno. De este modo se está dando una demostración de la independencia de dicho axioma.
Los puntos del plano serán los puntos del plano ú2. Las rectas son las rectas euclídeas y la medida de ángulos en la medida de ángulos euclídea. Sin embargo la forma de medir distancias es diferente y viene dada por la siguiente fórmula:
Sean P=(a,b) y P'=(a',b'), definimos d(P,P')=(a-a'(+(b-b'(.Esta forma de medir distancias sería la utilizada por un taxista que trabajara en una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula de rectas. A partir de la determinación de la distancia y medida de ángulos, la definición de puntos y rectas, se pueden definir todos los demás términos: congruencia, paralelismo, etc. Obsérvese que dado que las rectas y puntos coinciden con los euclídeos, el quinto axiomade los Elementos es evidente.
El Ejercicio que proponemos es que encuentre el axioma de la geometría euclídea que no verifica este modelo y por qué.
_Solución_
Durante la solución de este problema propuesto, vamos a ver que el axioma que no se verifica para la geometría del taxista es el Axioma 11, que dice así:
(A11) (Criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos). Sien una correspondencia entre dos triángulos, dos de los lados de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes del otro, y el ángulo formado por dichos lados es también congruente con el ángulo correspondiente, entonces la correspondencia dada define una congruencia entre los dos triángulos.
Para demostrar que este es el axioma que falla para esta geometría, y que además los demássí que funcionan, vamos a analizar los axiomas uno a uno.
Como en la geometría del taxista las rectas y la medida de los ángulos, están definidas de la misma forma que en la geometría euclídea, está claro que los axiomas (A1), (A2) y (A3) funcionan. Con respecto al axioma (A4) la definición de distancia para la geometría del taxista cumple claramente los tres requisitos que se le piden eneste axioma. El axioma (A5) también es claro que se cumple, pues fijando un punto cualquiera en una recta como origen y calculando la distancia de los demás puntos de la recta a este origen, se puede definir fácilmente una función biyectiva como la que piden. (Sería distinta a la que se define para la geometría euclídea, pero esto no es un problema). Los axiomas (A6), (A7), (A8), (A9) y (A10), severifican claramente ya que tanto los ángulos como las rectas coinciden con las de la geometría euclídea. El axioma (A12) se verifica también por la misma razón que los anteriores.
Veamos ahora que es el axioma (A11) el que no se verifica, para ello voy a dar dos triángulos tales que: dos de los lados de un triángulo son congruentes (esto es tienen la misma medida) que dos del otro triángulo,...
LA GEOMETRÍA DEL TAXISTA. ___________________________________________________ 3
UNIDAD DIDÁCTICA. EL TEOREMA DE PITÁGORAS. __________________________________ 7
1. Introducción. 7
2. Objetivos didácticos. 8
3. Contenido. 8
3.1. Pitágoras y los Pitagóricos. 8
3.2. Conocimientos Previos. Concepto de Área. 10
3.2.1. Concepto de Área y PropiedadesBásicas. 10
3.2.2. Áreas de algunas figuras geométricas. 11
3.3. Teorema de Pitágoras. Enunciado y Demostraciones. 12
3.4. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en las Matemáticas. 15
3.5. Aplicaciones prácticas del teorema de Pitágoras en otros campos. 17
3.6. Recíproco del teorema de Pitágoras. 18
3.7. Cuadrados mágicos pitagóricos. 19
3.8. Aplicación a lasraíces cuadradas. 19
3.9. Ejercicios para el alumno. 20
4. Metodología. 20
5. Materiales. 21
6. Evaluación. 21
7. Bibliografía. 22
La geometría del taxista.
Como ejercicio sobre este tema del curso proponemos aquí el modelo de una geometría no euclídea distinta de la hiperbólica. En esta geometría se verifican todos los axiomas que hemos expuesto en la sección anterior menosuno. De este modo se está dando una demostración de la independencia de dicho axioma.
Los puntos del plano serán los puntos del plano ú2. Las rectas son las rectas euclídeas y la medida de ángulos en la medida de ángulos euclídea. Sin embargo la forma de medir distancias es diferente y viene dada por la siguiente fórmula:
Sean P=(a,b) y P'=(a',b'), definimos d(P,P')=(a-a'(+(b-b'(.Esta forma de medir distancias sería la utilizada por un taxista que trabajara en una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula de rectas. A partir de la determinación de la distancia y medida de ángulos, la definición de puntos y rectas, se pueden definir todos los demás términos: congruencia, paralelismo, etc. Obsérvese que dado que las rectas y puntos coinciden con los euclídeos, el quinto axiomade los Elementos es evidente.
El Ejercicio que proponemos es que encuentre el axioma de la geometría euclídea que no verifica este modelo y por qué.
_Solución_
Durante la solución de este problema propuesto, vamos a ver que el axioma que no se verifica para la geometría del taxista es el Axioma 11, que dice así:
(A11) (Criterio lado-ángulo-lado de congruencia de triángulos). Sien una correspondencia entre dos triángulos, dos de los lados de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes del otro, y el ángulo formado por dichos lados es también congruente con el ángulo correspondiente, entonces la correspondencia dada define una congruencia entre los dos triángulos.
Para demostrar que este es el axioma que falla para esta geometría, y que además los demássí que funcionan, vamos a analizar los axiomas uno a uno.
Como en la geometría del taxista las rectas y la medida de los ángulos, están definidas de la misma forma que en la geometría euclídea, está claro que los axiomas (A1), (A2) y (A3) funcionan. Con respecto al axioma (A4) la definición de distancia para la geometría del taxista cumple claramente los tres requisitos que se le piden eneste axioma. El axioma (A5) también es claro que se cumple, pues fijando un punto cualquiera en una recta como origen y calculando la distancia de los demás puntos de la recta a este origen, se puede definir fácilmente una función biyectiva como la que piden. (Sería distinta a la que se define para la geometría euclídea, pero esto no es un problema). Los axiomas (A6), (A7), (A8), (A9) y (A10), severifican claramente ya que tanto los ángulos como las rectas coinciden con las de la geometría euclídea. El axioma (A12) se verifica también por la misma razón que los anteriores.
Veamos ahora que es el axioma (A11) el que no se verifica, para ello voy a dar dos triángulos tales que: dos de los lados de un triángulo son congruentes (esto es tienen la misma medida) que dos del otro triángulo,...
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