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Graficacion de desigualdades


Objetivos de Aprendizaje
         Representar sistemas de desigualdades lineales como regiones en el eje de coordenadas.
         Identificar la región limitada de un sistema de desigualdades.
         Determinar si un punto dado es solución de un sistema de desigualdades.
 
Introducción
 
En un sistema de ecuaciones, las posibles soluciones deben serválidas para todas las ecuaciones. Los valores que son verdaderos para una ecuación pero no para todas no resuelven el sistema. El mismo principio aplica a los sistemas de desigualdades, los cuales son un conjunto de dos o más desigualdades relacionadas. Todas las posibles soluciones deben ser válidas para todas las desigualdades.
 
Ya que cada desigualdad individual define todo un rango devalores, encontrar todas las soluciones que satisfacen varias desigualdades puede parecer una tarea difícil. Por suerte, las gráficas nos muestran un atajo.
 
Graficando un Sistema de Dos Desigualdades
 
La gráfica de una sola desigualdad lineal divide el eje de coordenadas en dos regiones, A un lado están todas las soluciones posibles de la desigualdad. Al otro lado, no hay soluciones. Considerala gráfica de la desigualdad y < 2x + 5.
 

 
 
La línea punteada es y = 2x + 5. Cada par ordenado en el área sombreada a la derecha de la línea es una solución de y < 2x + 5. ¿Escéptico? Intenta sustituyendo las coordenadas x y y de los Puntos A y B en la desigualdad — verás que funcionan.
 
La región sombreada, el área del plano que contiene todas las soluciones posibles a la desigualdad,se llama región limitada. La línea que marca el límite de la región se llama lógicamente línea límite. En este caso, está punteada porque los puntos sobre la recta no satisfacen la desigualdad. Si lo hicieran, como lo sería con la desigualdad y ≤ 2x + 5, entonces la línea límite sería sólida.
 
Grafiquemos otra desigualdad: y > -x. Esta desigualdad también define un medio plano. Los puntos M yN están graficados dentro de la región limitada. Esto significa que ambos puntos producen declaraciones válidas cuando sus coordenadas x y y son sustituidas en la desigualdad y > -x.
 

 
 
Para crear un sistema de desigualdades, necesitamos graficar dos o más desigualdades juntas. Usemos y < 2x + 5 y y > -x ya que conocemos sus gráficas independientes.
 

 
 
¿Observas el área púrpura,donde las regiones límite de las dos desigualdades se sobreponen? Esta es la solución del sistema de desigualdades. Cualquier punto dentro de esta región púrpura será válido para y > x y para y < 2x + 5. Ambas desigualdades definen regiones límite más grandes, pero el rango posible de soluciones para el sistema consistirá en una región limitada más pequeña que es la que tienen en común.
 
En lagráfica, puedes ver que los puntos B y N son soluciones posibles para el sistema porque sus coordenadas volverán a ambas desigualdades declaraciones verdaderas.
 
En contraste, los puntos M y A están fuera de la región limitada compartida, Mientras que M es todavía una posible solución de la desigualdad y > -x y el punto A es todavía una posible solución de la desigualdad y < 2x + 5, ningúnpunto es una solución válida para el sistema.
 
Identificando Soluciones
 
Para averiguar si un punto dado es una solución de un sistema de desigualdades, podemos ver si se encuentra dentro de la región común del sistema, Veamos algunos ejemplos
 
Determinar si (3, -2) es una solución posible del sistema:
 
y > 0.5x − 2
x + y ≤ 5
 
Antes de siquiera graficar el sistema podemos sustituirlos valores x = 3 y y = -2 en cada desigualdad y ver si obtenemos declaraciones válidas. Esta es una manera rápida de determinar si un punto dado es solución del sistema (aunque también haremos la gráfica del sistema).
 
y > 0.5x − 2
-2 > 0.5(3) − 2
-2 > 1.5 − 2
-2 > -0.5
declaración inválida
x + y ≤ 5
3 + (-2) ≤ 5
3 − 2 ≤ 2
1 ≤ 2
declaración válida
 
Obtuvimos una declaración válida...