Covarianza,correlacion, coeficiente de correlacion y recta de regresion lineal

Covarianza
La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.
La covarianza se representa por sxy o σxy.


La covarianza indica el sentido de la correlación entre las variables
Si σxy > 0 la correlación es directa.
Si σxy < 0 la correlación es inversa.La covarianza presenta como inconveniente, el hecho de que su valor depende de la escala elegida para los ejes.
Es decir, la covarianza variará si expresamos la altura en metros o en centímetros. También variará si el dinero lo expresamos en euros o en dólares.
Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10
10
Física
1
3
24
4
4
6
4
6
7
9
10
Hallar la covarianza de la distribución.
xi
yi
xi · yi
2
1
2
3
3
9
4
2
8
4
4
16
5
4
20
6
4
24
6
6
36
7
4
28
7
6
42
8
7
56
10
9
90
10
10
100
72
60
431
Después de tabular los datos hallamos las medias aritméticas:

La covarianza será entonces:


Correlación
La correlación trata de establecer la relación o dependencia queexiste entre las dos variables que intervienen en una distribución bidimensional.
Es decir, determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o que hay correlación entre ellas.

Tipos de correlación
1º Correlación directa
La correlación directa se da cuando al aumentar una de lasvariables la otra aumenta.
La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta creciente.

2º Correlación inversa
La correlación inversa se da cuando al aumentar una de las variables la otra disminuye.
La recta correspondiente a la nube de puntos de la distribución es una recta decreciente.

3º Correlación nula
La correlación nula se da cuando no hay dependencia de ningúntipo entre las variables.
En este caso se dice que las variables son incorreladas y la nube de puntos tiene una forma redondeada.



Grado de correlación
El grado de correlación indica la proximidad que hay entre los puntos de la nube de puntos. Se pueden dar tres tipos:
1. Correlación fuerte
La correlación será fuerte cuanto más cerca estén los puntos de la recta.

2. Correlación débilLa correlación será débil cuanto más separados estén los puntos de la recta.


El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables.

El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.

Propiedades del coeficiente de correlación
1. El coeficiente de correlación no varía al hacerlo la escalade medición.
Es decir, si expresamos la altura en metros o en centímetros el coeficiente de correlación no varía.
2. El signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza.
Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.
Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.
Si la covarianza es nula, no existe correlación.
3. El coeficiente de correlaciónlineal es un número real comprendido entre −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
4. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la correlación es fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a −1.
5. Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a 1.
6. Siel coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es débil.
7. Si r = 1 ó −1, los puntos de la nube están sobre la recta creciente o decreciente. Entre ambas variables hay dependencia funcional.
Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas
2
3
4
4
5
6
6
7
7
8
10
10
Física
1
3
2
4
4
4
6
4
6
7
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