Covarianza

Covarianza
En estadística la covarianza es una medida de dispersión conjunta de dos variables estadísticas.
Definición
La covarianza (a veces también denotada ) de dos variables aleatorias e es:donde es el operador esperanza. Para distribuciones discretas la fórmula anterior se concreta en
.
Cuando las variables aleatorias e son n-dimensionales, es decir, e
, su matriz de covarianzas es:Interpretación de la covarianza
• Si hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de
y.
• Si Una covarianza 0 se interpreta como la noexistencia de una relación lineal entre las dos variables
estudiadas.
• Si hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores
de y.
Propiedades
Si X, Y, W,y V son variables aleatorias y a, b, c, d son constantes ("constante" en este contexto significa no
aleatorio), se cumple que:
•
• , la varianza de
•
•
•
•
• , fórmula que suele emplearse enla práctica para calcular la
covarianza.
Estas propiedades se deducen de manera casi directa de la definición de la covarianza. En otras palabras la
covarianza trata de explicar que tanrelacionadas se encuentran dos variables entre sí, que tanto se mueve una cuando
la otra se mueve otro tanto. Ejemplo, si la variable X se mueve 1, supongamos que la variable Y se mueve 2,
entonces podemosdecir que la variable Y se mueve positivamente el doble de lo que se movería la variable X.
Covarianza 2
No correlación e independencia
Si X e Y son independientes, entonces su covarianza es cero.Esto ocurre por la propiedad de independencia,
Lo opuesto, sin embargo, generalmente no es cierto: algunos pares de variables aleatorias tienen covarianza cero
pese a que no son independientes. Bajoalgunas hipótesis adicionales, la covarianza de valor cero implica
independencia, como por ejemplo en el caso de la distribución normal multivariante.
Relación con el producto escalar
La mayoría de...