Covolucion

¿Qué es una convolución?
Uno de los conceptos más importantes en la teoría de Fourier, y en cristalografía, es el de una convolución. Circunvoluciones se presentan en muchas formas, como se muestra a continuación. Debido a una propiedad matemática de la transformada de Fourier, conocido como el teorema de convolución, es conveniente llevar a cabo cálculos con circunvoluciones.
Pero primerodebemos definir lo que es una convolución. Entender el concepto de una operación de convolución es más importante que la comprensión de una prueba del teorema de convolución, pero puede ser más difícil!
Matemáticamente, una convolución se define como la integral en todo el espacio de una función en x veces otra función en ux. La integración se toma sobre la variable x (que puede ser una variable de1D o 3D), generalmente de menos infinito hasta el infinito sobre todas las dimensiones. Así que la convolución es una función de una variable u nuevo, como se muestra en las siguientes ecuaciones. La cruz en un círculo se utiliza para indicar la operación de convolución.

Tenga en cuenta que no importa qué función le llevará en primer lugar, es decir, la operación de convolución esconmutativa. Vamos a demostrar que por debajo, pero usted debe pensar en esto en términos de la ilustración de abajo.Esta ilustración muestra cómo se puede pensar en la convolución, ya que da una suma ponderada de copias cambiado de una función: los pesos son propuestos por el valor de la función de la segunda función en el vector de cambio. El par superior de los gráficos muestra las funciones originales. Lossiguientes tres pares de mostrar gráficos (a la izquierda) la función g pasado por varios valores de x, y, a la derecha, que desplaza la función g multiplicada por f en el valor de x.

El par inferior de los gráficos muestra, a la izquierda, la superposición de varias copias y cambió ponderada de g y, a la derecha, la integral (es decir, la suma de todos los ponderada, cambió copias de g). Sepuede ver que la mayor contribución proviene de la copia desplazado por 3, es decir, la posición del pico de f.
Si una de las funciones es unimodal (tiene un pico), como en esta ilustración, la otra función se cambiará por un vector equivalente a la posición del pico, y manchado por una cantidad que depende de la nitidez de la cumbre es. Sin embargo, una alternativa sería cambiar los papeles de lasdos funciones, y veríamos que la función g bimodal se ha duplicado los picos de la función unimodal f.
Circunvoluciones son conmutativas

Hemos dicho que la integral de convolución es conmutativa. Aquí, en caso de estar interesado, es una prueba rápida de eso. En primer lugar, empezamos con la integral de convolución por escrito de una manera. Por conveniencia vamos a tratar con el caso 1D,pero el caso 3D es exactamente análogo.

Ahora sustituimos las variables, en sustitución de ujo con un nuevo x '.

Tenga en cuenta que, debido a que el signo de la variable de integración cambiado, tenemos que cambiar los signos de los límites de integración. Debido a que estos límites son infinitos, el cambio del origen (por el vector u) no cambia la magnitud de los límites.
Ahora invertimos elorden de los límites, que cambia el signo de la ecuación, y cambie el orden de las funciones g y f.

No importa si llamamos a la variable de integración x 'o x, por lo que se vuelve a poner x, para obtener el resultado que queríamos demostrar.

El teorema de convolución
Porque habrá muchos transformadas de Fourier en el resto de esta presentación, es útil para introducir una notaciónabreviada. T se utiliza para indicar un avance transformada de Fourier y su inversa para indicar la transformada inversa de Fourier.

Hay dos maneras de expresar el teorema de convolución:
* La transformada de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier.
* La transformada de Fourier de un producto es la convolución de las transformadas de Fourier.

El teorema...