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Páginas: 21 (5180 palabras)
Publicado: 8 de marzo de 2015
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
PÁGINA 161
P RACTICA
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos
triángulos:
b)
c)
cm
a)
11
,6
7m
m
a
32
8m
m
25
a
a
m
60
1
√ 252 – 72 = 24 = 0,96; tg a = 7 ≈ 0,29
a) sen a = 7 = 0,28; cos a =
25
25
25
24
b) sen a =
√ 11,62 – 82 = 8,4 ≈ 0,724
11,6
11,6
cos a =8 ≈ 0,69; tg a = 8,4 = 1,05
11,6
8
c) sen a =
32
= 32 = 8 ≈ 0,47
2
68 17
+ 60
√ 322
cos a = 60 = 15 ≈ 0,88; tg a = 32 = 8 ≈ 0,53
68 17
60 15
^
2
Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
a)
b)
B
A
C
A
C
B
^
^
^
a) sen B = 2,8 ≈ 0,82; cos B = 2 ≈ 0,59; tg B = 2,8 = 1,4
3,4
3,4
2
^
^
^
b) sen B = 1,3 ≈ 0,34; cos B = 3,6 ≈ 0,95; tg B = 1,3 ≈ 0,36
3,8
3,8
3,6Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
3
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes
^
triángulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
a)
^
sen B = 56 ≈ 0,90
62,3
27,3 cm
B
^
62,3 cm
A
56 cm
cos B =
C
√ 62,32 – 562 = 27,3 ≈ 0,438
62,3
62,3
^
tg B = 56 ≈2,051
27,3
^
^
^
sen C = 27,3 ≈ 0,438; cos C = 56 ≈ 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875
62,3
62,3
56
^
b)
sen B =
B
33,9 cm
4,5 cm
A
33,6 cm
C
33,6
= 33,6 ≈ 0,991
2
2
√ 4,5 + 33,6 33,9
^
cos B = 4,5 ≈ 0,133
33,9
^
tg B = 33,6 ≈ 7,467
4,5
^
^
^
sen C = 4,5 ≈ 0,133; cos C = 33,6 ≈ 0,991; tg C = 4,5 ≈ 9,955
33,9
33,9
33,6
^
B
sen B =
A
32,25 cm
√ 362 – 162 ≈ 32,25 ≈ 0,896
36
36
)
^
cos B = 16= 0,4
36
36 cm
16 cm
c)
C
^
tg B = 32,25 ≈ 2,016
16
)
^
^
^
sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 ≈ 0,896; tg C = 16 ≈ 0,496
36
36
32,25
4
Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB
son rectángulos.
7 cm
A
24 cm
6,72 cm
C H
1,96 cm
23,04 cm
Halla en cada uno las razones trigonométricas
del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué
B observas?
El triángulo ABC esrectángulo en A:
242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625
El triángulo AHB es rectángulo en H:
23,042 + 6,722 = 576 = 242
Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
en ABC
cos B^
tg B^
7 = 0,28
—
25
24 = 0,96
—
25
7 ≈ 0,292
—
24
6,72 = 0,28 —
23,04 = 0,96 —
6,72 ≈ 0,292
—
24
24
23,04
en AHB
5
sen B^
^
^
ì
ì
Calcula las razones trigonométricas delos ángulos A y C , ABD y CBD.
B
cm
12 cm
15
A
C
16 cm
D
AD = √152 – 122 = 9; BC = √122 + 162 = 20
A^
C^
^
ABD
^
CBD
sen
12 = 0,8
—
15
12 = 0,6
—
20
9 = 0,6
—
15
16 = 0,8
—
20
cos
9 = 0,6
—
15
16 = 0,8
—
20
12 = 0,8
—
15
12 = 0,6
—
20
tg
12 = 1,3)
—
9
12 = 0,75
—
16
9 = 0,75
—
12
16 = 1,3)
—
12
Relaciones fundamentales
6
Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizandolas relaciones fundamentales (a < 90°).
cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 ≈ 0,292
0,96
7
Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que
cos a = 2/3 (a < 90°).
sen a =
4
√
= 1–— =
(
)
√
√ 9
2
1– —
3
Unidad 7. Trigonometría
2
5
√ 5/3 = √ 5
; tg a =
3
2/3
2
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
8
Si tg a = √5 , calcula sen a y cos a (a < 90°).
—
—
sen a
°s = √ 5c
— = √5
—
§ —
cos a
1
√6
¢ (√ 5c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = —
— =—
sen 2 a + cos 2 a = 1 §£
√6
6
sen a = √5 ·
9
√ 6 = √ 30
6
6
Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:
sen a 0,92
0,12
cos a
tg a
0,75
sen a 0,92 0,6 0,99
cos a 0,39 0,8 0,12
tg a 2,35 0,75 8,27
En todos los casos solo tomaremos valores positivos.
• sen a = 0,92 8 cos a = √ 1 – (0,92) 2 = 0,39
tga = 0,92 = 2,35
0,39
• tg a = 0,75
sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a
cos a
(sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8
8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8
sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6
• cos a = 0,12 8 sen a = √ 1 – (0,12) 2 = 0,99
tg a = 0,99 = 8,27
0,12
10
Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°):...
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1
PÁGINA 161
P RACTICA
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos
triángulos:
b)
c)
cm
a)
11
,6
7m
m
a
32
8m
m
25
a
a
m
60
1
√ 252 – 72 = 24 = 0,96; tg a = 7 ≈ 0,29
a) sen a = 7 = 0,28; cos a =
25
25
25
24
b) sen a =
√ 11,62 – 82 = 8,4 ≈ 0,724
11,6
11,6
cos a =8 ≈ 0,69; tg a = 8,4 = 1,05
11,6
8
c) sen a =
32
= 32 = 8 ≈ 0,47
2
68 17
+ 60
√ 322
cos a = 60 = 15 ≈ 0,88; tg a = 32 = 8 ≈ 0,53
68 17
60 15
^
2
Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de B en cada caso:
a)
b)
B
A
C
A
C
B
^
^
^
a) sen B = 2,8 ≈ 0,82; cos B = 2 ≈ 0,59; tg B = 2,8 = 1,4
3,4
3,4
2
^
^
^
b) sen B = 1,3 ≈ 0,34; cos B = 3,6 ≈ 0,95; tg B = 1,3 ≈ 0,36
3,8
3,8
3,6Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2
3
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes
^
triángulos rectángulos (A = 90°):
a) b = 56 cm; a = 62,3 cm
b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm
c) c = 16 cm; a = 36 cm
a)
^
sen B = 56 ≈ 0,90
62,3
27,3 cm
B
^
62,3 cm
A
56 cm
cos B =
C
√ 62,32 – 562 = 27,3 ≈ 0,438
62,3
62,3
^
tg B = 56 ≈2,051
27,3
^
^
^
sen C = 27,3 ≈ 0,438; cos C = 56 ≈ 0,90; tg C = 27,3 = 0,4875
62,3
62,3
56
^
b)
sen B =
B
33,9 cm
4,5 cm
A
33,6 cm
C
33,6
= 33,6 ≈ 0,991
2
2
√ 4,5 + 33,6 33,9
^
cos B = 4,5 ≈ 0,133
33,9
^
tg B = 33,6 ≈ 7,467
4,5
^
^
^
sen C = 4,5 ≈ 0,133; cos C = 33,6 ≈ 0,991; tg C = 4,5 ≈ 9,955
33,9
33,9
33,6
^
B
sen B =
A
32,25 cm
√ 362 – 162 ≈ 32,25 ≈ 0,896
36
36
)
^
cos B = 16= 0,4
36
36 cm
16 cm
c)
C
^
tg B = 32,25 ≈ 2,016
16
)
^
^
^
sen C = 16 = 0,4; cos C = 32,25 ≈ 0,896; tg C = 16 ≈ 0,496
36
36
32,25
4
Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB
son rectángulos.
7 cm
A
24 cm
6,72 cm
C H
1,96 cm
23,04 cm
Halla en cada uno las razones trigonométricas
del ángulo B y compara los resultados. ¿Qué
B observas?
El triángulo ABC esrectángulo en A:
242 + 72 = 625 = (23,04 + 1,96)2 = 252 = 625
El triángulo AHB es rectángulo en H:
23,042 + 6,722 = 576 = 242
Unidad 7. Trigonometría
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3
en ABC
cos B^
tg B^
7 = 0,28
—
25
24 = 0,96
—
25
7 ≈ 0,292
—
24
6,72 = 0,28 —
23,04 = 0,96 —
6,72 ≈ 0,292
—
24
24
23,04
en AHB
5
sen B^
^
^
ì
ì
Calcula las razones trigonométricas delos ángulos A y C , ABD y CBD.
B
cm
12 cm
15
A
C
16 cm
D
AD = √152 – 122 = 9; BC = √122 + 162 = 20
A^
C^
^
ABD
^
CBD
sen
12 = 0,8
—
15
12 = 0,6
—
20
9 = 0,6
—
15
16 = 0,8
—
20
cos
9 = 0,6
—
15
16 = 0,8
—
20
12 = 0,8
—
15
12 = 0,6
—
20
tg
12 = 1,3)
—
9
12 = 0,75
—
16
9 = 0,75
—
12
16 = 1,3)
—
12
Relaciones fundamentales
6
Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizandolas relaciones fundamentales (a < 90°).
cos a = √1 – 0,282 = 0,96; tg a = 0,28 ≈ 0,292
0,96
7
Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que
cos a = 2/3 (a < 90°).
sen a =
4
√
= 1–— =
(
)
√
√ 9
2
1– —
3
Unidad 7. Trigonometría
2
5
√ 5/3 = √ 5
; tg a =
3
2/3
2
7
Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4
8
Si tg a = √5 , calcula sen a y cos a (a < 90°).
—
—
sen a
°s = √ 5c
— = √5
—
§ —
cos a
1
√6
¢ (√ 5c)2 + c 2 = 1 8 6c 2 = 1 8 cos a = —
— =—
sen 2 a + cos 2 a = 1 §£
√6
6
sen a = √5 ·
9
√ 6 = √ 30
6
6
Calcula y completa esta tabla con valores aproximados:
sen a 0,92
0,12
cos a
tg a
0,75
sen a 0,92 0,6 0,99
cos a 0,39 0,8 0,12
tg a 2,35 0,75 8,27
En todos los casos solo tomaremos valores positivos.
• sen a = 0,92 8 cos a = √ 1 – (0,92) 2 = 0,39
tga = 0,92 = 2,35
0,39
• tg a = 0,75
sen a = 0,75 8 sen a = 0,75 · cos a
cos a
(sen a) 2 + (cos a) 2 = 1 8 (0,75 · cos a) 2 + (cos a) 2 = 1 8
8 (cos a) 2 = 0,64 8 cos a = 0,8
sen a = 0,75 · 0,8 = 0,6
• cos a = 0,12 8 sen a = √ 1 – (0,12) 2 = 0,99
tg a = 0,99 = 8,27
0,12
10
Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90°):...
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