Crculos De Mhor

1.13 Círculo de Mohr para deformaciones

1.13.

Círculo de Mohr para deformaciones

Construcción del círculo de Mohr para deformaciones: 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con  como abscisa, positivo hacia la derecha, y  como ordenada, positivo hacia abajo. 2. Localice el centro  del círculo en el punto con coordenadas  y  = 0.  +  2

 =

3. Localice elpunto A que representa las condiciones de deformación sobre la cara 1 del elemento mostrado en la Fig. (1.50), marcando sus coordenadas  =  y  . Note que el punto  corresponde a  = 0 . 4. Localice el punto B que representa las condiciones de deformación sobre la cara del elemento  sobre el círculo corresponde a  = 90 . mostrado en la Fig. (1.50) , trazando sus coordenadas  =  y− . Observe que el punto

5. Dibuje una línea del punto  al . Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro . Los puntos  y , que representan las deformaciones sobre los planos a 90 uno del otro, que están en extremos opuestos del diámetro y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el círculo. 6. Con el punto  como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos  y . Elcírculo dibujado de esta manera tiene radio . sµ ¶2

=

 −  2

+ 2 

7. Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.50)

ε12 =  ±  8. Cálculo del ángulo  de la ec. (1.65) µ ¶ y del ángulo .

2 = tan

2  − 

9. Cálculo del la deformación cortante máxima, 

m´x , a

c °Gelacio Juárez, UAM

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1.13 Círculo de Mohr paradeformaciones

Figura 1.50: Trazo círculo de Mohr para deformaciones.



m´x a

=

Nota: En el círculo de Mohr para deformaciones, algunos autores, utilizan la deformación angular,   2, en lugar de la deformación por cortante  , que están relacionadas como:  =   2 (1.115)

1.13.1.

Ejemplo

En un punto de la superficie plana de un sólido se colocan tres deformímetrosextensométricos como se muestra en la Fig. 1.51.Después de someter el sólido a la acción de cargas se registran las siguientes deformaciones unitarias:  = 0006;  = 0004; y  = −0008; (1.116)

Figura 1.51: Arreglo de deformímetros.

c °Gelacio Juárez, UAM

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1.13 Círculo de Mohr para deformaciones Calcular la deformación angular  definida por el ángulo recto de los deformímetros a y b, lasdeformaciones y sus direcciones principales , así como la deformación cortante máxima. Calculo de la deformación angular Al expresar los ejes cartesianos (,), como los ejes definidos, respectivamente, por los deformímetros a y b, las deformaciones se definen como:  =  = 0006  =  = 0004  =  = −0008  = 1   2 Expresando la deformación  como la proyección de las otrasdeformaciones.  = n · ε · n donde el vector normal es: " cos(90◦ + ) cos  # (1.118) (1.117)

n= y el tensor de deformaciones:

(1.119)

ε=

"

 

 

#

(1.120)

sustituyendo las ecs. (1.119) y (1.120) en la ec. (1.118) "
2

 =

 =  cos (90 + ) +  cos  + 2 cos(90 + ) cos  sustituyendo los valores de la ec. (1.117) en la (1.121) −0008 = 0006 cos2 (135◦ )+ 0004 cos2 (45◦ ) + 2 cos(135◦ ) cos(45◦ ) obteniéndose el valor de la deformación por cortante;  = 0013  La deformación angular,   , se calcula de la ec. (1.115):   = 2 = 0026  c °Gelacio Juárez, UAM

h

cos(90◦ + ) cos 
2 ◦

i

 

 

#

cos(90◦ + ) cos 
◦

(1.121)

(1.122) 69

1.13 Círculo de Mohr para deformaciones Calculo dedeformaciones principales El tensor de deformaciones es: ε= Cálculo del centro  = Cálculo del radio sµ 0006 − 0004 2 ¶2 + (0013)2 = 001304 0006 + 0004 = 0005 2 " 0006 0013 0013 0004 #

=

Cálculo de las deformaciones principales y ubicación en la fig. (1.52)

1 = 0005 + 0013 = 0018 2 = 0005 − 0013 = −0008

Figura 1.52: Trazo Mohr. El ángulo  se calcula 1  =...