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Problemas subespacios vectoriales
Conocidas las ecuaciones implícitas
Obtener la dimensión, unas ecuaciones paramétricas y una base del subespacio E dado por:
Solución

Tenemos que resolver elsistema homogéneo
• F es subespacio vectorial de
• Buscamos las ecuaciones paramétricas:
El primer paso es “limpiar” el sistema homogéneo
estudiamos el rango de la matriz:

Nos fijamos muy bienen el menor principal , ya que nos da la clave para saber qué
ecuaciones sobran y cuáles son las variables libres
• La variable libre es z (la que no está en el menor).
Dicho de otra manera, x e yvan a depender de z.
• Sobra la tercera ecuación (la que no está en el
menor), ya que es combinación lineal de las dos
primeras. Dicho de otra manera, hay 2 ecuaciones
linealmente independientes(las que están en el
menor).
Una vez “limpiado”, nuestro sistema es:

que pasamos a resolver:

Ecuaciones paramétricas

• Buscamos una base y la dimensión:
(hay 1 vector
en su base)
Otraforma de saber la dimensión del subespacio:

Problemas subespacios vectoriales
Conocidas las ecuaciones paramétricas
Calcular una base, dimensión y ecuaciones implícitas del subespacio
Solución
• Fes subespacio vectorial de
• Buscamos una base y la dimensión
Como tenemos las ecuaciones paramétricas

Tenemos que “limpiar” el sistema
generador, es decir, eliminar los
vectores l.d. paratener una base.
Estudiamos el rango de la matriz cuyas columnas son los vectores del sistema generador

Nos fijamos muy bien en el menor principal , ya que nos da la clave para saber qué
vectoresforman la base: el 2º y el 3º (los que están en el menor)
(hay 2 vectores en su base)
• Buscamos las ecuaciones implícitas (a partir de la base).
Como la dimensión del subespacio es 2:

Observar queestamos
utilizando el mismo menor
principal que antes.

Sabíamos que iban a salir 2 ecuaciones implícitas:
nº ec. Implícitas l.i.=2

Problemas subespacios vectoriales
Conocido un sistema...