Crecimiento exponencial en la poblacion

Introducción:
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:
M_t = M_0 \cdot e^{rt} \,
Donde:
Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuandoempezamos a medirla;
r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma y = ax con r = ln(a). Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Porejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamente..

Fenómenos con crecimiento exponencial.
1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
3. El número de contraseñas posibles con n dígitos creceexponencialmente con n.
4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.
5. El número de bacterias que se reproducen por mitosis.
6. El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador.
 
Ecuaciones diferenciales.
Elcrecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:

(1) \begin{cases} \cfrac{dM}{dt} = rM \ M(0)=M_0 \end{cases}

Donde M_0\; es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitudpara t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:

M(t)=M_0 e^{rt}\;

Para t > 0 puede verse que M(t) > M_0\; (siempre y cuando el crecimiento sea positivo r > 0).

Catástrofe malthusiana.
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimientode población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento dela población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

 
Expresado en ecuaciones diferenciales elargumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

\frac{dP(t)}{dt} = r P(t) \qquad (1)
\frac{dA(t)}{dt} = k A_0 \qquad (2)

La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:

a(t) = \frac{A(t)}{P(t)} =\frac{A_0(1+k t)}{P_0 e^{r t}} =a_0(1+k t)e^{-rt}

Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es amin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad...