crecimiento exponencial (matemáticas)



crecimiento exponencial (matemáticas)




Introducción
El crecimiento exponencial o geométrico transcurre si el índice de crecimiento propio de una función es correspondiente al presente valor de dicha función, por esta razón se llama formalmente, ley exponencial. El relacionamiento entre el tamaño de la variable dependiente con el tamaño del índice de crecimiento es establecido porrazón de la ley de proporción directa.
Objetivos

Identificar funciones exponenciales
Obtener la fórmula exponencial asociada a una situación determinada.

Crecimiento y Decaimiento Exponencial

     Crecimiento exponencial      Crecimiento lineal      Crecimiento potencial (cúbico)
La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud tal que su variación en el tiempo esproporcional a su valor, lo que implica que crece muy rápidamente en el tiempo, de acuerdo a la ecuación:

Donde:
es valor de la magnitud en el instante ;
es el valor inicial de la variable, valor en , cuando empezamos a medirla;
es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre y ;
= 2,718281828459...
La expresión se refiere alcrecimiento de una función exponencial de la forma con. Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación y un valor entero. Por ejemplo, si, entonces. Si entonces . Y así sucesivamente.
Fenómenos que crecen de forma exponencial
Algunos fenómenos que pueden ser descritos por un crecimiento exponencial, al menos durante un cierto intervalo de tiempo, son:
1. El número decélulas de un embrión mientras se desarrolla en el útero materno.
2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
3. El número de contraseñas posibles con dígitos crece exponencialmente con .
4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada,representable o codificable mediante un número entero.
5. El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.
6. El número de miembros en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador y los recursos son ilimitados (no existe competencia intraespecífica).
Ecuaciones diferenciales
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional alvalor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:
(1)
Donde es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para ). La solución a esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es la ecuación de crecimiento exponencial:

Para puede verse que (siemprey cuando el crecimiento sea positivo ).
Catástrofe malthusiana
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó aafirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediadosdel siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.
Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si es la población en el año y la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:
(2a, 2b)
La solución de las...