Crecimiento Poblacional

Crecimiento poblacional
Tiene la forma general:
dxdt=kx xto=xo
Donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diversos fenómenos que tienen que ver con el crecimiento odecaimiento. La tasa de crecimiento de ciertas poblaciones en periodos cortos es proporcional a la población presente en el tiempo t.
La constante k se determina a partir de la solución del problema delvalor inicial. En física y química, la ecuación se ce en forma de reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya rapidez, dx/dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia quequeda sin convertirse en el tiempo t.
Ejemplo:
En un principio un cultivo al inicio tiene Po cantidad de bacterias. En t= 1h se determina que el no. De bacterias es (3/2)Po. Si la rapidez decrecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.
Solución:
Cambiando X por P. Con To= 0, condiciónincial P(0)= Po. Para obtener la constante de proporcionalidad se usa el dato que P(1)= (3/2)Po.
La ecuación diferencial dP/dt= kP es tanto separable como lineal.
dPdt-kP=0
El factor integrante ese-kt al resolver se obtiene:
ddte-ktP=0 y e-ktP=c
Por tanto, P(t)= cekt. En t=0 se deduce que Po= ce0 = c, y en consecuencia P(t)= Po ekt. En t=1 se tiene que (3/2)Po = Po ek o bien ek= 3/2.De la última ecuación se obtiene que K= ln(3/2) = 0.4055, y entonces, P(t)= Po e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve 3Po= Po e0.4055t para t.se deduce que 0.4055t= ln3 o
t= ln30.4055 Aproximadamente 2.71 h.
Así los problemas que describen el crecimiento se caracterizan por un valor positivo de k, mientras que los problemas relacionadoscon el decaimiento generan un valor de k negativo. En consecuencia se dice que k es una constante de crecimiento o decaimiento.
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