crecimiento poblacional


CRECIMIENTO POBLACIONAL
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, un economista ingles en 1798. En esencia, la idea delmodelo maltusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece de forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t.

 (1)
Elproblema del valor inicial
(2)
En donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde interviene el crecimiento. Si conocemos una poblaciónen cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t=o, y la ecuación (2) nos sirve para predecir la población en el futuro esto es, para t>0
FORMULAS
 
Ln|P|=kt+ct=0 c=Ln|
LnP=kt+ln
LnP-Ln=kt
Ln ( )=kt 
=P=
Ln ( )=k

EJERCICIOS RESUELTOS
1)Un cultivo tiene inicialmente un numero de bacterias, para t=0, el número de bacterias es 3/2 si la rapidezde multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes. Determinar el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.
P= t=0
P=3/2 t=1h
P=3 t=?

Ln ( )=kK=Ln ( ) K=0.40

P=
3 = ln (3)= 0.40 t  t= t=2.74 ≈t= 3 años

2) El crecimiento de una ciudad, es proporcional al número de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la poblacióninicial es de 400000; y al cabo de 3 años es de 450000. ¿Cuánto tardara en duplicarse? ¿qué población habrá en 10 años?
 P(t)=
=400000 habitantes
t= 3 años P=450000 habitantes
a)t=?P=800000 habitantes
b)P=?  t= 10 años
Calcular k
450000=  
ln(1.125)= 3k  k= k=0.03926
P(t)=
a) 800000=
2=  Ln 2= ln
Ln2=0.03926t  t= t=17,655 años

b) t= 10 años P=?P(t)=
P= P= 592330 habitantes
3) Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en un instante cualquiera con una rapidez proporcional al número de personas presente en dicho instante. Si...