Crecimiento Y Decaimiento Naturales

Crecimiento y Decaimiento
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
(El Problema de valor inicial)

Viene dada por la siguiente Forma:
dxdt=kx , x(t0) = X0 (1)
En donde K es una constante deproporcionalidad. Se emplea como modelo de distintos fenómenos, donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa decrecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momentoinicial arbitrario, que podemos considerar definido por t=0, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en le futuro - esto es, para t > 0 -. En física, un problema de valorinicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuacióndiferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).
La constantede proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento t1 > t0.

Problema 1.-

Se sabe que la población decierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplico en 5 años ¿en qué tiempo se triplicara?

Solución.-Sea P = P(t), la población al tiempo t, y Po la población inicial.
De dP/dt = kP se obtiene P = Poеkt

Usando P(5) =2Po,
luego, 2Po = Poe5k
Para t = 5 encontramos k = (1/5) Ln 2, yP = Poе(Ln2)t/5,
* Cuando la población se triplica, P(t) = 3Po,
Luego
3Po = Poe(Ln2)t/5, se tiene
3 = e(Ln2)t/5 , luego Ln3 = (Ln2)t/5, y
t = (5 Ln3)/Ln2, t3 = 7.92 años