Crecimiento y decaimiento

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO
(El Problema de valor inicial)

Viene dada por la siguiente Forma:
dxdt=kx , x(t0) = X0 (1)
En donde K es una constante de proporcionalidad. Seemplea como modelo de distintos fenómenos, donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento de algunaspoblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerardefinido por t=0, la solución de (1) nos sirve para predecir la población en le futuro - esto es, para t > 0 -. En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones (1) puede servir demodelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objetoque se enfría. En química la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).
La constante de proporcionalidad k, en (1), se puede hallar resolviendo el problemade valor inicial, con una determinación de x en un momento t1 > t0.

Problema 1.-

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas quetiene en cualquier momento. Si la población se duplico en 5 años ¿en qué tiempo se triplicara?

Solución.-
Sea P = P(t), la población al tiempo t, y Po la población inicial.
De dP/dt = kP seobtiene P = Poеkt

Usando P(5) =2Po,
luego, 2Po = Poe5k
Para t = 5 encontramos k = (1/5) Ln 2, y
P = Poе(Ln2)t/5,
* Cuando la población se triplica, P(t) = 3Po,
Luego
3Po = Poe(Ln2)t/5,se tiene
3 = e(Ln2)t/5 , luego Ln3 = (Ln2)t/5, y
t = (5 Ln3)/Ln2, t3 = 7.92 años


Problema 2.-
Suponga que la población de la comunidad del problema 1 es de 10 000 después de 3 años. ¿Cuál...