Crecimiento y decrecimiento

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2.3.

Funciones logar´ıtmica y exponencial

Aplicaciones de la funci´
on exponencial. Crecimiento y decaimiento exponencial

En muchos problemas reales se presentan fen´omenos que al modelizarlos conllevan
potencias del n´
umero e. Son de inter´es aquellos problemas en los que la rapidez
(tasa o intensidad) de variaci´on de una cantidad con respecto al tiempo t (variable
independiente),var´ıa proporcionalmente a la cantidad existente en un momento espec´ıfico t0 . Es decir, si y es la cantidad (variable dependiente) y k es una constante
de proporcionalidad, entonces:

dy
= ky
dt
Observe que es una ecuaci´on diferencial, relaciona la funci´on desconocida y con su
dy
derivada
.
dt
Si y aumenta cuando t aumenta, entonces k > 0, se tiene un crecimiento exponencial.
Si y decrece cuando taumenta, entonces k < 0, tenemos un decaimiento exponencial.
Teorema 2.3.1 Sea y una funci´on continua de t, con y > 0 para toda t ≥ 0. Adem´as,
dy
= ky, donde k es una constante. Si y = y0 cuando t = 0, entonces:
dt
y = y0 ekt
Demostraci´
on:

dy
Dada la ecuaci´on diferencial
= ky, se puede aplicar el m´etodo de separaci´on de
dt
dy
dy
variables y se obtiene:
= kdt. Integrando se tiene:
= k dt,esto es:
y
y
ln |y| = kt + c1
Equivalentemente
|y| = ekt+c1 = ec1 ekt = cekt
Dado que y > 0, entonces y = cekt . De acuerdo con las condiciones iniciales, y = y0
cuando t = 0, entonces y0 = c, obteniendo:
y = y0 ekt

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Funciones logar´ıtmica y exponencial

Ejercicios 2.3.2 Primero resuelva cada uno de estos ejercicios sin mirar la soluci´on que se proporciona. Al final compare las soluciones, estaforma de trabajar le
dar´a m´as seguridad para desarrollar estos modelos.
dy
dy
Recuerde que si
= ky, entonces, y = y0 ekt . Algunas veces
= ky se reescribe
dt
dt
1 dy
=k
y dt
y recibe el nombre de rapidez de crecimiento relativa. Esto no es m´as que la
rapidez de crecimiento dividida entre el tama˜
no de la poblaci´on.
1. Una poblaci´on de protozoarios se desarrolla con una tasa relativaconstante de
crecimiento de 0.7944 por miembro por d´ıa. El d´ıa cero, la poblaci´on consta de
dos miembros. Encuentre el tama˜
no de la poblaci´on despu´es de seis d´ıas.
Soluci´
on: Sea y la poblaci´on de protozoarios, entonces,
1 dy
=k
y dt
En este caso:
k = 0,7944
Por tanto:
dy
= 0,7944y
dt
La soluci´on de esta ecuaci´on diferencial es:
y = y0 e0,7944t
Dado que y0 = 2, se tiene:
y = 2e0,7944t
Si t =6 se tiene:
y(6) = 2e0,7944×6 ≈ 235 miembros.

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Funciones logar´ıtmica y exponencial
2. Un habitante com´
un de los intestinos humanos es la bacteria Escherichia coli.
Una c´elula de esta bacteria en un caldo de cultivo se divide en dos c´elulas cada
20 minutos. La poblaci´on inicial de un cultivo es de 60 c´elulas.
a Encuentre la tasa relativa de crecimiento
b Halle una expresi´on para lacantidad de c´elulas despu´es de t horas
c Encuentre el n´
umero de c´elulas despu´es de 8 horas
d Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de 8 horas
e ¿Cu´
ando habr´a 20.000 c´elulas?
Soluci´
on: (a) Sea y la poblaci´on de bacterias, t es el tiempo en horas, entonces,
y = y0 ekt = 60ekt
Dado que cada 20 minutos cada c´elula se divide en dos, entonces a los 20
1
minutos ( hora) habr´a 120c´elulas. De ah´ı que
3
1
1
y( ) = 60e 3 k = 120
3
1

De donde e 3 k = 2, entonces k = ln 8 ≈ 2,08.
(b) y = 60ekt = 60e(ln 8)t = 60 × 8t
(c) y(8) = 60 × 88 = 1006632960
dy
dy
= ky, si t = 8, entonces,
= ln 8 × y(8) = 2093234394 celulas/h
(d)
dt
dt
(e) Si y(t) = 20000, entonces 20000 = 60 × 8t , de donde t ≈ 2,79 horas
3. Un cultivo de bacterias se inicia con 500 y crece con una rapidez proporcional
a sutama˜
no. Despu´es de 3 horas, hay 8000 bacterias.
a Halle una expresi´on para la cantidad de bacterias despu´es de t horas
b Encuentre la cantidad de bacterias despu´es de 4 horas
c Encuentre la tasa de crecimiento despu´es de 4 horas

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Funciones logar´ıtmica y exponencial
d ¿Cu´ando habr´a 30.000 bacterias?
t

Soluci´
on: (El lector). Repuestas: (a) 500 × 16 3 (b) 20159 (c) ≈ 18631...