Crisis economica

La tangente a la Parábola  (TH.OF.III.122–123)
Fermat utiliza, en la segunda parte del Methodus, el método de «adigualdad» para trazar la tangente a una parábola en un punto. Es la primera descripción que hace Fermat de su método de tangentes y manifiesta que el procedimiento es una aplicación de su método para los máximos y mínimos, con estas palabras (TH.OF.III.122):
«Nosotros reconducimos almétodo precedente la invención de las tangentes en puntos dados de curvas cualesquiera. [...]».
Fermat considera la parábola BDN con vértice D y diámetro DC, y se plantea trazar la tangente en un punto B de la misma. Sea ésta BE, que interseca al eje en el punto E.
Fermat continúa:
«[...]. Si se toma sobre la recta BE un punto cualquiera O, desde el que se traza la ordenada OI, al mismo tiempoque la ordenada BC desde el punto B, se tendrá: CD/DI> BC2/OI2, puesto que el punto O es exterior a la parábola. [...]».
Hay en este párrafo dos elementos significativos. En primer lugar señalar que el punto O que Fermat toma sobre la tangente, puede ser cualquiera. Esta observación contradice las anacrónicas interpretaciones de las construcciones de Fermat en términos de límites. Por otraparte, Fermat aplica implícitamente, en este párrafo, la propiedad de generación de las cónicas de Apolonio, en forma de proporción.
Siguiendo a Fermat, escojamos en el segmento de tangente BE un punto O cualquiera y tracemos la ordenada OI, así como la BC.
De la propiedad de la parábola tendremos, según Apolonio (Las Cónicas, I.11):
BC2/PI2 = CD/DI,
Además, OI>PI, por tanto se verifica:
CD/DI> BC2/OI2.
Ahora, de la semejanza de los triángulos rectángulos  BCE, OIE (Euclides, VI.4), se tiene:
BC/OI = CE/IE (3).
De las dos últimas relaciones deducimos finalmente:
CD/DI > CE2/IE2.
Pongamos CD=d, CI=e. Hemos de determinar el segmento subtangente, CE=a.
A partir de la última desigualdad, se tiene:
[d / (d–e)] > [a2 / (a–e)2],
de donde resulta:
d·(a–e)2 > a2·(d–e) ,
y deaquí:
da2 + de2 – 2dae > da2 –a2e.
Ahora Fermat sustituye esta desigualdad  por la«adigualdad»:
da2 + de2 – 2dae da2 –a2e  ,
y manifesta:
«”Adigualemos” según el método precedente; se tendrá eliminando términos comunes:
de2 – 2dae –a2e».
Fermat continúa trasponiendo términos y dividiendo por e:
de + a2 2da,
ignora el término que todavía contiene la e, y obtiene: 
a2 = 2da,
de donde resultafinalmente:
a = 2d.
Fermat comenta el resultado:
«Hemos probado de esta forma que CE es doble de CD, lo que es conforme a la verdad».
Y termina diciendo (TH.OF.III.123):
«Este método nunca falla, y puede ser aplicado a un gran número de cuestiones muy hermosas; mediante él, he encontrado los centros de gravedad de figuras limitadas por líneas rectas y curvas, así como los de los sólidos y otrasnumerosas cosas que podremos tratar en otra parte si dispongo del tiempo para ello..

Si aplicamos el resultado de Fermat, en términos actuales, a la obtención de la ecuación de la tangente a la parábola  y2=2px, tendríamos:
Sea m la pendiente de la recta tangente en el punto B de coordenadas B=(x0,y0), se obtiene:
m = BC/EC = y0/2x0,
de donde resulta para la ecuación de la tangente a la parábolaen B:
y–y0 = y0(x–x0) / 2x0 .
Al hacer operaciones resulta: yy0 = p(x+x0), ecuación habitual de la tangente a la parábola.
Observemos, no obstante, que en el cálculo de la tangente, Fermat busca y encuentra simplemente la longitud de la subtangente, pero todavía no llama especialmente la atención sobre el ángulo determinado por el eje y la tangente –lo que para nosotros es la pendiente de larecta tangente–. Fermat ni siquiera considera la tangente como límite geométrico de las secantes determinadas por el punto de tangencia y los puntos de la curva “próximos” a él. De modo que debemos prevenirnos de las anacrónicas interpretaciones del método de tangentes de Fermat en términos de límites y derivadas.
Las primeras memorias de Fermat sobre la construcción de las tangentes eluden el...