Cristales ionicos

CRISTALES IÓNICOS
Son los cristales constituidos por un conjunto de iones de signo
contrario unidos por fuerzas de carácter mayoritariamente
electrostático, y en los cuales todo el cristal podría ser considerado
como una molécula porqué los iones estén enlazados con sus
vecinos, y estos con los otros y así sucesivamente.
Los iones tienden a empaquetarse de manera que se minimice leenergía, y esto se cumple cuando:
a) las cargas de los iones son neutralizadas por los vecinos
inmediatos, es decir que los vecinos de los cationes son aniones y
viceversa, y
b) los empaquetados tienden a ser lo más compactos posible, sin que
la distancia entre dos iones sea menor que la suma de los respectivos
radios iónicos, de manera que si consideramos los iones esféricos,
serian tangenteslos unos a los otros.
El cálculo de la energía necesaria para formar un cristal
tridimensional es compleja, pero se puede ensayar una aproximación
a partir de un modelo lineal que permitirá demostrar las dos
afirmaciones anteriores.
Supuesta una fila de cargas positivas y negativas como la que se
muestra en la figura, colocadas alternativamente y separadas una
distancia l entre ellas, sepuede calcular la energía necesaria para
formar esta distribución periódica.

Por eso se irán colocando cada una de las cargas en su posición y se
calculará el trabajo necesario para cada una de estas acciones:

- despreciando la masa de cada carga, por la colocación de la
primera no se ha de realizar ningún trabajo porqué no hay otras
cargas que generen atracción o repulsiónelectrostática.
Consecuentemente, T1=0
- cuando se coloque el segundo ión (de carga contraria al primero),
este estará sometido a una atracción electrostática por parte del
primero, por tanto el trabajo necesario será de signo negativo, es
decir, la fuerza que hay que hacer para la distancia entre infinito y l:

T2 =

l

Fdl , donde la fuerza de carácter electrostático vale

∞

q1 ⋅ q2 q 2
F==2
l2
l
por tanto

q2
q2
T2 =
dl = −
∞ l2
l
l

- al colocar la tercera carga, la expresión del trabajo necesario tendrá
dos términos, uno positivo correspondiente a la repulsión de la carga
de igual signo, y uno negativo asociado a la atracción de la carga de
signo contrario.

q2 q2
Por tanto T3 = −
+
2l
l
- igualmente, la colocación de la cuarta carga representará untrabajo
que se expresará mediante tres componentes

q2 q2 q2
T4 = −
+
−
l
2l 3l

q2 q2
q2
- y para la n-esima carga Tn = −
+
− ⋅⋅⋅ ±
l
2l
(n − 1)l
Sumando todos los términos se obtiene el trabajo necesario para

formar esta distribución de n cargas:

T1 =
T2 =
T3 =
T4 =
T5 =

0
q2
−
l
q2 q2
−
+
l
2l
2
q
q2 q2
−
+
−
l
2l 3l
q2 q2 q2 q2
−
+
−
+
l
2l 3l4l

...
q2 q2 q2 q2
q2
Tn = −
+
−
+
− ⋅⋅⋅ ±
l
2l 3l 4l
(n − 1)l

T = − (n − 1)

q2
q2
q2
q2
+ (n − 2) − (n − 3) + (n − 4) ⋅ ⋅ ⋅
l
2l
3l
4l

q2
Sacando el factor común −
queda
l
q2
n− 2 n− 3 n− 4
T=−
(n − 1) −
+
−
⋅⋅⋅
l
2
3
4
que se puede escribir de la siguiente manera:

(

q2
T=−
n − 1− n 2 + 2 2 + n 3 + 33 − n 4 + 4 4 ⋅ ⋅ ⋅
l
en que los sumandos-1 y +1 se anulan y se puede sacar el factor
común n

(

q2
T = −n
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 15 ⋅ ⋅ ⋅
l

)

donde el desarrollo de la serie entre paréntesis vale log2=0.69

)

Si lo que se forma es una distribución tridimensional de un número
de conjuntos (+ -) igual al número de Avogadro N (un mol), la
expresión del trabajo corresponde a la energía reticular (definida
como eltrabajo necesario para “producir” un mol de una
determinada substancia), y queda de la siguiente manera:

q2
UR = − N
M
l
en la que M es una constante que depende de la estructura y que se
conoce como constante de Madelung.
En esta expresión se comprueba que UR es mínimo (adquiere el
máximo valor absoluto) cuando la distancia l es la más pequeña
posible. Por tanto, será la suma de los...