cristales

L2: Simetr´ y geometr´ cristalinas
ıa
ıa

Contenido

Cap´
ıtulo 2
Simetr´ cristalina, grupos espaciales y
ıa
descripci´n de la estructura de un cristal peri´dico
o
o
Redes cristalinas. Elementos de simetr´ en un cristal peri´dico. Celdillas primitivas
ıa
o
y centradas. Grupos espaciales. Tablas internacionales de cristalograf´ Descripci´n
ıa.
o
cristalogr´fica de un cristal.Geometr´ b´sica del cristal. Ejemplos de estructuras
a
ıa a
cristalinas.

c V´
ıctor Lua˜a, 2002
n

(50)

L2: Simetr´ y geometr´ cristalinas
ıa
ıa

Red cristalina

Red cristalina
Un cristal peri´dico resulta de la convoluci´n de una red de puntos (ret´
o
o
ıculo, malla, etc) con un
motivo molecular :

+
Motivo
molecular

Red de puntos

Convoluci´n de dos funciones 1D:o

Cristal

h(x) = f

f (t) g(x − t) dt.

g(x) =
Ω

El ret´
ıculo es una estructura invariante por traslaci´n. Si elegimos un punto arbitrario y seleccionamos
o
un conjunto m´
ınimo de vectores que unen el punto con sus vecinos, todos los puntos de la red se
visitan mediante traslaciones primitivas
t = n1 a + n2 b + n3 c,

(54)

donde {a, b, c} se eligen para que (n1 , n2 , n3) sean n´meros enteros Z.
u
c V´
ıctor Lua˜a, 2002
n

(51)

L2: Simetr´ y geometr´ cristalinas
ıa
ıa

Red cristalina

Celda unidad: Los vectores a, b y c determinan un paralelep´
ıpedo, que se repite por traslaci´n para formar la red de puntos
o
completa.
La elecci´n de celda no es unica, sino que hay infinitas posibilio
´
dades.
Celda primitiva: se dice de una celda unidadque tiene el m´
ınimo
volumen posible o, lo que es lo mismo, comprende un unico punto
´
de red.
Las celdas no primitivas o centradas tienen un volumen que es
m´ltiplo entero del volumen de una celda primitiva y comprenden
u
un n´mero entero de puntos de la red.
u
Alternativamente: si empleamos una celda primitiva, todos los puntos de la red se generan mediante
una traslaci´n primitiva desu unico punto reticular. En cambio, empleando celdas centradas se
o
´
necesitan traslaciones con ´
ındices fraccionarios:
τ = q1 a + q2 b + q3 c

con

q1 , q2 , q3 ∈ Q.

(55)

Siempre es posible describir el cristal utilizando una celda primitiva pero, a menudo, se recurre a
celdas centradas para mostrar claramente la simetr´ intr´
ıa
ınseca.

c V´
ıctor Lua˜a, 2002
n

(52)L2: Simetr´ y geometr´ cristalinas
ıa
ıa

c
α
β

γ

a

b

Red cristalina

En cristalograf´ se utiliza una celda paralepip´dica caracıa
e
terizada por tres vectores {a, b, c} que pueden ser ortogonales o no, seg´n convenga a la simetr´ del cristal.
u
ıa
Par´metros de celda: Los seis par´metros (a, b, c, α, β, γ)
a
a
definen completamente la celda unidad.
Coordenadascristalogr´ficas: La posici´n de un punto ara
o
bitrario se describe por el vector
 
xi
 
ri = xi a + yi b + zi c = a b c  yi  = a xi . (56)
  ˜
zi

Celda principal: lugar geom´trico de los puntos de coordenadas 0 ≤ xi , yi , zi < 1. El cristal
e
completo se obtiene mediante traslaciones primitivas de la celda principal.
Producto escalar de dos vectores: debemos tener en cuenta lamatriz m´trica de la celda unidad:
e
ri · rj = t (a xi ) · (a xj ) = t xi t a a xj = t xi G xj .
˜
˜
˜˜

 

2
a·a a·b a·c
a
ab cos γ ac cos β

 

2
G =  b · a b · b b · c  = ab cos γ
b
bc cos α 

 

c·a c·b c·c
ac cos β bc cos α
c2
c V´
ıctor Lua˜a, 2002
n

(57)

(58)

(53)

L2: Simetr´ y geometr´ cristalinas
ıa
ıa

Red cristalinaVolumen de la celda: el determinante de la matriz m´trica nos proporciona el cuadrado del volumen
e
de la celda:
V 2 = det G = G

=⇒

V = abc

1 − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ.

(59)

Si α = β = γ = 90◦ esta f´rmula se reduce al volumen habitual de un ortoedro, V = abc.
o
Distancia entre ´tomos: Sean ri y rj los vectores de posici´n de ambos puntos. El vector que va
a...