Criterio De Estabilidad De Lyapunov

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Para los sistemas lineales invariantes en el tiempo se aplican criterios como los de estabilidad de “Nyquist” o el de “Routh”.

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Pero si el sistemas es no lineal o variante en el tiempo estos criterios de estabilidad no son útiles.

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METODOS PARA CALCULAR LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMAS POR MEDIO DE LYAPUNOV:
El primer método planteado por Lyapunov parte de la solución de lasecuaciones diferenciales que representan el sistema para hallar su estabilidad.

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El segundo método por el contrario no requiere la solución de las ecuaciones de estado para determinar la estabilidad de un sistema.

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Consideremos un sistema definido mediante:

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En donde x es el vector de estados de n dimensiones y f(x,t) es un vector también de n dimensiones, cuyos elementosson funciones de x1,x2,..xn y t.

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Dicho sistema tiene una solución única que empieza en una condición inicial dada:

(1)
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En donde X=Xo en t=to y t es el tiempo observado:

(2)  Por tanto el estado de equilibrio para el sistema es un estado Xe en el que: (3)

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se denomina estado de equilibrio del sistema. Si el sistema es lineal e invariante con el tiempo, es decir, sif(x, t) = Ax, entonces sólo existe un estado de equilibrio si A es no singular, y existen infinitamente muchos estados de equilibrio si A es singular.

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Para los sistemas no lineales, pueden existir uno o más estados de equilibrio. Estos estados corresponden a las soluciones constantes del sistema (x = xe para toda t). La determinación de los estados de equilibrio no involucra la solución delas ecuaciones diferenciales del sistema, ecuación (1) sino sólo la solución de la ecuación (3).

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Estabilidad en el sentido lyapunov:

Se plantea una región esférica con radio k a partir de un estado de equilibrio Xe:  En donde se denomina norma euclidiana, y se define mediante:
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Suponga que está formada por todos los puntos tales que  y supongamos también que está formada portodos los puntos tales que:
 

Se dice que un estado de equilibrio Xe es estable en el sentido de Liapunov si, en correspondencia con cada , existe una tal tal que las trayectorias que empiezan en esta no se alejan de conforme t se incrementa indefinidamente.

Estabilidad asintótica:  Se dice que un estado de equilibrio Xe de un sistema es asintóticamente estable si es estable en el sentidode Liapunov y todas las soluciones que empiezan dentro de S(Q) convergen a Xe, sin apartarse de S(E), conforme t se incrementa indefinidamente.
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 

Estabilidad asintótica en general: Si la estabilidad asintótica es válida para todos los estados (todos los puntos en el espacio de estados) a partir de los cuales se originan trayectorias, se dice que el estado de equilibrio esasintóticamente estable en general. Es decir, se dice que el estado de equilibrio Xe, del sistema obtenido mediante la ecuación (1) es asintóticamente estable, en general, si es estable y todas las soluciones convergen a Xe, conforme t se incrementa indefinidamente.

  

(a) Estado de equilibrio estable y una trayectoria representativa. (b) estado de equilibrio asintóticamente estable y una trayectoriarepresentativa. (c) estado de equilibrio inestable y una trayectoria representativa.

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Definidad positiva de las funciones escalares: Se dice que una función escalar V(x) es definida positiva en una región Ω (que incluye el origen del espacio de estados) si V(x) > 0 para todos los estados x diferentes de cero en la región Ω y V(O) = 0. Se dice que una función variante con el tiempo V(x, t)es definida positiva en una región Ω (que incluye el origen del espacio de estados) si está limitada desde abajo por una función definida positiva variante con el tiempo, es decir, si existe una función definida positiva V(x) tal que:

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

Definidad negativa de las funciones escalares: Se dice que una función escalar V(x) es definida negativa si -V(x) es definida positiva.

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