Criterio de estabilidad de routh

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

INGENIERÍA DE CONTROL

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M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ. M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El problema más importante de los sistemas de controllineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s . Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

C (s ) b0 s m + b1s m−1 + L + bm−1s + bm B(s ) = = R(s ) a0 s n + a1s n−1 + L + an−1s + an A(s )
En donde las a y las b son constantes y m ≤ n . Criterio deestabilidad de Routh. El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh: 1. Escriba el polinomioen s del denominador en la forma siguiente:

a0 s n + a1s n−1 + L + an−1s + an = 0 En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que an ≠ 0 ; es decir, se elimina cualquier raíz
cero. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, elsistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

sn s s n−2 s n−3 s
n−4 n−1

a0 a1 b1 c1 d1 M e1 f1 g1

a2 a3 b2 c2 d2 Me2

a4 a5 b3 c3 d3

a6 L a7 L b4 L c4 L d4 L

M s s s
2 1 0

Los coeficientes b1 , b2 , b3 , K , c1 , c2 , c3 , K , d1 , d 2 , K , etc., se evalúan del modo siguiente:

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a1a2 − a0 a3 a1 a1a4 − a0 a5 b2 = a1 a1a6− a0 a7 b1 = a1 M b1 =

b1a3 − a1b2 b1 b1a5 − a1b3 c2 = b1 b1a7 − a1b4 c3 = b1 M c1 =

c1b2 − b1c2 c1 c1b3 − b1c3 d2 = c1 M d1 =

La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columnadel arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo.

Ejemplo 1 Considere el polinomio siguiente:

s 4 + 2 s 3 + 3s 2 + 4 s1 + 5 = 0
Los primeros dos renglones seobtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sería

s4 s s s
3 2 1

1 3 5 2 4 0 1 5 −6 5

s

0

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier renglón se multiplican por, o se dividen entre, un númeropositivo para simplificar el cálculo.

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Ejemplo 2 Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. Considere el sistema de la figura. Determine el rango de valores de K para la...