Criterio De La Estabilidad De Nyquist

Criterio de Estabilidad de Nyquist

El criterio de Estabilidad de Nyquist está basado en un teorema de la variable compleja. Este criterio también es útil para obtener información acerca de las funciones de transferencia de componentes o sistemas a partir de datos experimentales sobre la respuesta de frecuencia

Representaciones de funciones complejas de una variable compleja

Una funciónreal de una variable real se puede representar por una sola gráfica con ejes X, Y. Pero una función compleja tal como P(s) con s = σ+jω se requiere de 2 graficas bidimensionales. La primera es una grafica de jω contra σ que se denomina plano S, igual como se usó para representar mapas de polos y ceros. La segunda gráfica es la parte imaginaria de P(s) contra la parte real de P(s) que se denominaplano P(s). Existe una correspondencia entre los polos de los 2 planos que conlleva una proyección ó transformación. Los puntos en el plano S se proyectan sobre puntos en el plano P(s) por medio de la función P.

Se puede decir que un sistema es estable cuando al ser excitado, la parte transitoria de su respuesta decae conforme aumenta el tiempo. Para esto, se necesita que las raíces de suecuación característica sean reales negativas o complejas con parte real negativa.
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Sin embargo, el hecho de que un sistema sea estable, no implica que sea útil, pues aún cuando su transitorio se haga cero, su duración y características pueden ser tales que se imponga una modificación en su dinámica. De esta manera, no basta con establecer de una manera absoluta la estabilidad, es necesariotambién cuantificarla. Para conocer cuan estable es un sistema, se requiere información que simplifique su análisis. Como la factorización de la ecuación característica o la aplicación de métodos algebraicos como el de Routh, no pueden proporcionar con exactitud la información para su análisis, en cambio se tienen algunos métodos, basados en la respuesta frecuencial, que son una herramienta convenienteno solo para determinar las características del comportamiento de los sistemas, sino también para corregir los efectos no deseados que presenten. Antes de describir los métodos frecuenciales debemos tomar en cuenta:

MAPEO DE CONTORNOS.
Considérese una función racional y univoca F(s) que viene dada — por:
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En donde y son respectivamente los ceros y los polos de la función. Como en lospolos F(s) no es analítica, esto es, la función o sus derivadas no existen, se dice que son puntos singulares o singularidades de la función. Ahora bien, si se traza un contorno arbitrario en el plano "s" como el que se muestra en la fig. a , tal que no pase por ninguna singularidad de la función y se valúa a ésta en cada uno de los puntos del contorno, la gráfica de P(s) será también un caminocerrado, cuyas características están determinadas, por el lugar que ocupan los ceros y los polos en el plano complejo. Supóngase que la localización de los ceros y de los polos es la que se muestra en la fig. 4.b.

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Fig. a)

En el plano s, los factores están representados por vectores diferencia, que van de los ceros y los polos al punto en el cual se va a valuar la función;

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Fig.b)

Con referencia a ésta, se valúa a F(s) en el contorno C, recorriéndolo en la dirección indicada, después de una revolución completa, los vectores que van desde los ceros y los polos que no se encuentran rodeados por el contorno, mantienen constante su contribución en fase al lugar de la función. No pasa lo mismo con el vector que se origina en el cero, que por estar rodeado por el contorno,incrementa su fase en 360°. Es por esto que la gráfica rodea el origen del plano F, en la misma dirección que el contorno C en s, sobre el cual se ha valuado la función. Si en lugar de haberse rodeado un cero, se tuviera un polo, es evidente que el vector originado en este, contribuiría también con 360°, pero negativos, a la gráfica de la función, lo cual significa que el lugar F(s) rodea el...