criterio de lyapunov

U
N
E
X
P
O

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
ANTONIO JOSE DE SUCRE
VICE RECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS
EN EL ESPACIO DE ESTADO
Francisco De La Cruz

CAPITULO 5
ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

EL3133 - SISTEMAS DE CONTROL II - Sección 01
Eulogio T. Pérez Ramos
Marzo - Julio 98

Capítulo 5: Estabilidad deSistemas Lineales

5.0

1

Introducción
La estabilidad se considera la propiedad cualitativa más importante de los sistemas de control

lineales. De hecho, la mayoría de los diseños de sistemas están dirigidos, directa o indirectamente, a la
obtención de sistemas estables.
Existen una serie de criterios o métodos destinados al análisis de estabilidad de sistemas lineales
invariantes en el tiempo, entreellos están el criterio de Routh Hurwitz, el criterio de Nyquist, los
diagramas de Bode y lugar de las raíces. Todos estos métodos están basados en la función de
transferencia del sistema y, en general, no son aplicables ni a sistemas variantes en el tiempo ni a los no
lineales. En este capítulo se analizará la estabilidad de sistemas lineales con base en su representación
matricial de variablesde estado pero usando un criterio de estabilidad llamado el método directo de
Liapunov el cual puede ser usado también tanto en sistemas variantes en el tiempo con en no lineales.
Este capítulo posee la siguiente estructura: En la sección 5.1 se presentan las definiciones de
punto de equilibrio, tipos de estabilidad, funciones cuadráticas, etc. necesarias para comprender y
aplicar correctamente elsegundo método de estabilidad de Liapunov que se explica brevemente en la
sección 5.2. La sección 5.3 trata de la aplicación de este método en el caso específico de sistemas
lineales invariantes para la determinación de la estabilidad del estado de equilibrio y de funciones de
Liapunov. Finalmente en la sección 5.4 se presenta el procedimiento para escoger el valor óptimo de un
parámetroajustable de un sistema con respecto al criterio denominado índice de comportamiento; dicho
procedimiento se basa en el segundo método de Liapunov.
El estudiante deberá alcanzar los siguientes objetivos una vez finalizado el estudio de este
capítulo:
1. Señalar el tipo de estabilidad del estado de equilibrio de un sistema, dada su representación matricial,
utilizando funciones de Liapunov arbitrariamenteescogidas.
2. Determinar funciones de Liapunov y la estabilidad del estado de equilibrio de sistemas lineales
invariantes por medio del teorema de estabilidad de Liapunov para ese tipo de sistemas.
3. Calcular el valor óptimo de un parámetro ajustable de un sistema dada la representación matricial
del mismo y el índice de comportamiento a optimizar.
Las referencias recomendadas para este capítuloson [1], [3], [4], [5], [7], [14] y [19].
Versión 1.2 - Julio 98

Capítulo 5: Estabilidad de Sistemas Lineales

2

Versión 1.2 - Julio 98

Capítulo 5: Estabilidad de Sistemas Lineales

5.1

3

Definiciones Asociadas con Estabilidad
En esta sección se presentan una serie de definiciones y consideraciones necesarias para

establecer claramente los métodos de análisis de estabilidad que seránpresentados posteriormente. La
estabilidad estudiada es la presentada, que se considerará está descrito por la ecuación autónoma.

x& = Α x

(5-1)

donde x es el vector de estado (nx1) y A es una matriz de orden (nxn). La solución de la ecuación (51), considerando un vector de condiciones iniciales x( tο ) = x ο para un instante t = to se denota como

x (t ; x ο ,t ο ) =Φ(t )x ο

(5-2)

con Φ (t) lamatriz de transición de estado correspondiente a la matriz A
Definición 5-1
En el sistema descrito por la ecuación (5-1), un estado xe se denomina estado de equilibrio si y
sólo si

Α xe = 0

(5-3)

Si A es no singular entonces el sistema posee un estado de equilibrio único x e = 0 . Si A es singular
existirán infinitos estados de equilibrio.
Para el estado de equilibrio se cumple que

x( t ; x e...