criterio de popov

Comparación del teorema del círculo y el criterio de Popov
El sistema de segundo orden
x1
˙
x2
˙
y

= x2 ,
= −x2 − h(y),
= x1 ,

(1)

corresponde a un caso particular del sistema dePopov
=
=
=
=

x
˙
˙
ξ
y
u
tomando ξ = 0 y eligiendo
∙
¸
0 1
A=
,
0 −1

∙

b=

0
1

¸

,

Ax + bu
u
cx + dξ
−φ(y)

c=

£

1 0

(2)

¤

,

d = 0,

φ(y) =h(y).

Sin embargo, uno de los requisitos del criterio es que la matriz A sea Hurwitz, y en este caso uno
de los autovalores es nulo. Una manera de solucionar este inconveniente es sumando yrestando el
término αy con α > 0 al miembro derecho de la secunda ecuación de estado:
x1
˙
x2
˙
y

= x2 ,
= −αx1 − x2 − h(y) + αy,
= x1 ,

que puede escribirse en la forma (2) eligiendo
∙
¸
∙¸
£
¤
0
1
0
A=
, b=
, c= 1 0 ,
−α −1
1

d = 0,

(3)

φ(y) = h(y) − αy,

(4)

nuevamente con ξ = 0. Si se asume que h(·) pertenece al sector [α, β], con β > α, entonces φ(·)pertenece al sector [0, k], con k = β − α > 0. Para asegurar que el punto de equilibrio x = 0 es
globalmente asintóticamente estable (g.a.e.), el Teorema de Popov (T. 5.6.63, p. 233) pide que
inf Re {(1+ jωr) g (jω)} +
ˆ

ω∈R

1
> 0.
k

(5)

Es sencillo verificar que para el sistema (3), con la representación (4) la función transferencia es
g (s) = c (sI − A)−1 b = 1/(s2 + s + α) demanera que
ˆ
g
gr (ω) = Re {ˆ (jω)} =
ˆ

α − ω2

(α − ω 2 )2 + ω 2

,

gi (ω) = Im {ˆ (jω)} =
ˆ
g

−ω

(α − ω 2 )2 + ω 2

.

La condición (5) se puede escribir como
ˆ
inf Re {(1 +jωr) g (jω)} +

ω∈R

1
1
g
g
= inf [ˆr (ω) − rωˆi (ω)] + > 0,
k ω∈R
k

y en este caso resulta
α + ω 2 (r − 1)

(α −

ω 2 )2

+

ω2

+

1
> 0,
k

∀ω ∈ (−∞, ∞).

Estadesigualdad se satisface para cualquier valor de k > 0 y α > 0 eligiendo r > 1. Por lo tanto
el sistema (3) es g.a.e. para todo elemento no lineal φ (·) perteneciente al sector [0, ∞), o bien el...