Criterio de Routh



CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH


Introducción.

La estabilidad es la especificación más importante de un sistema. Si un sistema es inestable, la respuesta transitoria y los errores en estado estable son puntos debatibles. No se puede diseñar un sistema inestable para un requerimiento específico de respuesta transitoria o de error en estado estable. ¿Qué es entonces la estabilidad?Existen numerosas definiciones, dependiendo de la clase de sistema o del punto de vista.

Considere lo siguiente:

a) Un sistema lineal e invariante con el tiempo es estable si la respuesta libre tiende a cero conforme el tiempo tiende al infinito.

b) Un sistema lineal e invariante con el tiempo es inestable si la respuesta libre crece sin límite conforme el tiempo tiende al infinito.

c)Un sistema lineal e invariante con el tiempo es marginalmente estable si la respuesta libre no decae ni crece, sino que permanece constante o varía a medida que el tiempo tiende al infinito.

d) Que un sistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema mismo y no depende de la entrada ni de la función de excitación del sistema.


Entonces, la definición de estabilidadimplica que sólo la respuesta forzada permanece a medida que la respuesta libre tiende a cero. Por último, un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada. Y, un sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotada.

Haciendo referencia a los polos de la función de transferencia, se afirma, que los polos en el semiplano izquierdo producendecaimiento exponencial puro o respuestas libres senoidales amortiguadas. Debe tenerse cuidado aquí para distinguir entre respuestas libres que crecen sin límite y una respuesta forzada (por ejemplo, una rampa o un aumento exponencial), que también crece sin límite. Los sistemas cuya respuesta forzada tiendan al infinito son estables mientras la respuesta libre tienda a cero.

Algunas notas:

1) Lossistemas estables, tienen funciones de transferencia en lazo cerrado con polos sólo en el semiplano izquierdo.

2) Los polos del semiplano derecho producen respuestas libres senoidales exponencialmente crecientes.

3) Los sistemas inestables tienen funciones de transferencia en lazo cerrado con al menos un polo en el semiplano derecho, polos de multiplicidad mayores que uno sobre el ejeimaginario o ambos.

4) Los sistemas marginalmente estables tienen funciones de transferencia en lazo cerrado con sólo polos sobre el eje imaginarios de multiplicidad 1(o sea que no se repite) y polos en el semiplano izquierdo.

5) Una condición suficiente para que un sistema sea inestable es que todos los signos de los coeficientes del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado no seaniguales. Si faltan potencias de s, el sistema es ya sea inestable o, en el mejor de los casos, marginalmente estable.

6) Si todos los coeficientes del denominador son positivos y no falta ninguno, no se tiene información definitiva acerca de las ubicaciones de los polos del sistema.

7) Los polos de la entrada o de la función de excitación, no afectan la propiedad de estabilidad delsistema, sino sólo contribuyen a los términos de respuesta en estado estable en la solución.



Método de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh, solo determina si hay o no raíces positivas (en el semiplano derecho), en una ecuación polinómica sin necesidad de resolverla. Este criterio de estabilidad se aplica a polinomios que tengan solamente un número finito de términos. Si se aplicael criterio a un sistema de control, se puede obtener directamente información respecto a la Estabilidad Absoluta a partir de los coeficientes de la ecuación característica.

Se aclara que con este procedimiento, se puede saber “cuántos” polos del sistema en lazo cerrado hay en el semiplano izquierdo, en el semiplano derecho y sobre el eje jw. (Nótese que se dice cuántos, no dónde). Es...