criterios de convergencia de series

Criterios de convergencia para series.

Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia:
1.– Primer criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números reales tales que m N, tal que 0 an bn para todo natural n m. Entonces, si la


serie 
i1

b i es convergente, la serie 
i1

ai es convergente. Ysi la serie 
i1

ai es


divergente, la serie 
i1

b i es divergente.

2.- Segundo criterio de comparación.- Si (an) y (bn) son dos sucesiones de números


reales tal que an 0 y bn> 0 para todo n N y supongamos que limn 
an = L R.
bn



Entonces, si L 0, las series 
i1

ai y 
i1

b i tiene el mismo carácter.
Si L = 0, y la serie 
i1


b i es convergente, entonces la serie 
i1


ai también es

convergente.

3. - Criterio de la integral.- Si f : [1,+ )  R es una función decreciente y positiva y,


para cada n N, se cumple que an = f(n). Entonces, la serie 
i1

ai y la integral

impropia 
[1,  )
f  x . dx tienen el mismo carácterde convergencia o divergencia.

4. - Criterio del cociente.- Si (an) es una sucesión de números reales, y L =


an1

n

Entonces, si L < 1 la serie  ai
i1

converge. Y si L >1 la serie




i1

ai diverge.

5.- Criterio de Raabe.- Si (an) es una sucesión de números reales y sea
n 
an1

Entonces, si L > 1 la serie 
i1

aiconverge. Y si L < 1 la



serie 
i1

ai diverge.
6.- Criterio de la raíz.- Si (an) es una sucesión de números reales no negativos y sea


L = limn  an . Entonces, si L < 1 la serie 


ai converge. Y si L > 1 la serie
i1



i1

ai diverge.




an1

n





limn





n a





. Además, limn




an1an





limn





n a .

n an1

n

# Demostración:
1.- Si a n b n para todo n m, entonces las sumas parciales enésimas verifican: A n B n para todo natural n.


Luego, si la serie 
i1

b i es convergente lo es la también la sucesión (Bn), y estará
acotadasuperiormente, luego también lo estará (An), y teniendo en cuenta que (An) es monótona creciente y acotada, Será:


(An) una sucesión convergente  la serie 
i1


ai es convergente


Y si la serie 
i1


ai es divergente lo será también la sucesión (An), que por ser monótona
creciente, no está acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estará acotadasuperiormente la sucesión (Bn), y teniendo en cuenta que es monótona creciente y no acotada, será:


(Bn) una sucesión divergente  la serie 
i1

b i es divergente

2.- Si L 0, m N tal que para todo n m se verifica:

L an L
2  b  3 2

Y por tanto:

L.b n
2 an


3.L.bn
2






L.b n
Además, si la sucesión desumas parciales enésimas Bn converge, se cumple y
2

3.L.bn
2

también converge, lo que implica que la serie de sumas parciales enésimas An

también

converge. Luego la serie 
i1

ai es convergente.


Y si la la serie 
i1


ai es divergente, como la sucesión An diverge, entonces, las sucesiones

L.b n
2
3.L.bn
y
2

también divergen, lo queimplica que Bn

también diverge. Luego la serie



i1

b i es divergente


Luego resulta que las tres series,
 L.
 2
bi
,
 3.L.
 2
bi
y



ai

tienen el mismo

i1

i1

i1




carácter de convergencia. Y por tanto las series 
i1

ai y 
i1

b i tiene también el mismo

carácter.


Si L = 0, un m...