Criterios para series

series´ 3. SERIES NUMERICAS. 1. Convergencia. o u e Si {an } es una sucesi´n de n´meros reales, se define la serie de t´rmino general an y ∞ se escribe n=1 an como:
∞

an = lim (a1 + · · · + an ).n=1

Si este l´ ımite de la n-´sima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice que la serie es e convergente; si es infinito o no existe, que es divergente. 2. Convergencia absoluta. |an | esconverSe dice que la serie an es absolutamente convergente si la serie gente. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquierreordenaci´n suya tamo bi´n lo es y tiene el mismo valor. e Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero no absolutamente convergente. 3. Propiedades. • El car´cter(convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica un a n´mero finito de sus t´rminos. u e • Para que la serie an converja es necesario que lim an = 0. bn convergen, entonces: an + bn y λan , con λ ∈R, • Si las series an y tambi´n, teni´ndose: e e (an + bn ) = an + bn y λan = λ an .

4. Series geom´tricas y arm´nicas. e o • Las series geom´tricas e rn convergen si |r| < 1 y divergen en casocontrario. 1 convergen si α > 1 y divergen en caso contrario. • Las series arm´nicas o nα 5. Criterios de convergencia para series de t´rminos positivos. e • de comparaci´n: o bn converge (resp. Si apartir de un cierto lugar an ≤ k bn (resp. an ≥ k bn ) y e diverge), entonces an tambi´n. an Si lim ∈ R \ {0}, entonces an y bn tienen el mismo car´cter. a bn • del cociente: an+1 Si lim < 1 (resp. >1), entonces an converge (resp. diverge). an
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• de Raabe (cuando lim Si lim n 1 − an+1 an

an+1 = 1): an an converge (resp. diverge).

> 1 (resp. < 1), entonces

• dela√ ız: ra´ n an converge (resp. diverge). Si lim an < 1 (resp. > 1), entonces • de condensaci´n: o an y 2n a2n tienen el mismo car´cter. a Si {an } es decreciente, entonces 6. Series alternadas....