Criterios

UNIVERSIDAD POLITECNICA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” 
 INGENIERIA EN PROCESOS QUÍMICOS 
P.N.F. TRAYECTO I 
CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 
 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL ANÁLISIS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES. 
 
Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada. 
El  concepto  de  concavidad  es  útil  para  describir  la  gráfica  de  una  función 
derivable  ƒ.  Si  ƒ’(  c  )    existe, entonces  la  gráfica  de  ƒ  tiene  una  recta  tangente  l  con 
pendiente ƒ’( c ) en el punto P ( c , ƒ( c ) ).  
 
Para describir el tipo de concavidad se usa la siguiente terminología. 
Definición   . Sea ƒ  una función que es derivable en un número c.  
a)  La  gráfica  de  ƒ  tiene  concavidad  hacia  arriba  (∪)  en  el  punto   P  (c  ,  ƒ  (  c  )  )  si  existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en  ( a , b ) la gráfica de ƒ está por 
encima de la recta tangente en P. 

 
 b)  La  gráfica  de  ƒ  tiene  concavidad  hacia  abajo  (∩)  en  el  punto   P  (c  ,  ƒ  (  c  )  ) si  existe 
un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en  ( a , b ) la gráfica de ƒ está por 
debajo de la recta tangente en P. 

 
 

 

Teorema:  (Prueba  de concavidad)  Sea  ƒ  una  función  derivable  en  un  intervalo 
abierto que contiene a c, tal que ƒ’’(c) existe. 
a) Si ƒ’’ (c) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba  en  P (c,  ƒ(c)) 
b) Si ƒ’’(c)  0, entonces en c,  existe un mínimo.  
Si ƒ’’(c)  0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba. 
ƒ’’(x)  0 ⇒ en x = 1 ∃ (mínimo rel )

 

Para localizar losextremos relativos sust v.c. en f ( x)
31
31
f ( 1 ) = 27 ⇒ pmáx ( 1 , 27 ); f (1) = 0 ⇒ pmín (1,1)
3
3

 
4
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damasorojas8@gmail.com,damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com

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P.N.F. TRAYECTO I 
CÁTEDRA: MATEMÁTICA 

 
INTERVALOS        ƒ ( X ) 
  ∞,  
 
     
          
  ,∞
 
Cortes con los ejes:   
 

     ƒ’´( X )   RESUMEN.
‐ 
    
P. inflexión
+ 
    
0
1 

 

 
3) f ( x) = 12 + 2 x 2 − x 4 ⇒ Domf ( x) : (−∞, ∞)
f ′( x) = 4 x − 4 x3 ⇒ f ′( x) = 4 x (1 − x 2 )

si : f '( x) = 0 ⇒ 4 x (1 − x 2 ) = 0 ⇒ x = 0 (v.c.); x = ±1(v.c.)
f ′′( x) = 4 − 12 x2 ⇒ f ′′( x) = 4(1 − 3x2 ); si : f ′′( x) = 0 ⇒ 4(1 − 3x2 ) = 0 ⇒ x = ±

1
3=±

3
3

( p. p.i.)

sust v.c. en f ′′( x) ⇒ f ′′(0) = 4 > 0 ⇒ en x = 0 ∃ (mínimo rel )
f ′′(−1) = −8< 0 ⇒ en x = −1 ∃ (máximo rel )
f ′′(1) = −8< 0 ⇒ en x = 1 ∃ (máximo rel )

 

Para localizar los extremos relativos sust v.c. en f ( x)
f (−1) = 13 ⇒ pmáx (−1,13); f (0) = 12 ⇒ pmín (0,12); f (1) = 13 ⇒ pmáx (1,13)

INTERVALOS        ƒ ( X ) 
∞, √    
√
√

,
√

√

√

 + 
 

 

,∞
 

P. inflexión

 

 
 

     ƒ’´( X )   RESUMEN.
‐ 
 

 

 
‐ 

 
P. inflexión
 

 
 
Cortes con los ejes: 
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y = 0 ⇒0 =12 + 2 x 2 − x 4 ⇒ cambio de v. ⇒ y = x 2 ⇒ 12 + 2 y − y 2 = 0
x1 = −2,61; x2 = 4 ,61 ⇒ y = x 2 ⇒ x = 4,61 ⇒ x = ± 2, 14.

 

El valor x = −2, 61, no se toma en cuenta ya que no existe la raiz cuadrada de ese número.

 

 
4) f ( x) = x5 − 5 x3 ⇒ Domf ( x) : (−∞, ∞)
f ′( x) = 5 x 4 − 15 x 2 ⇒ f ′( x) = 5x 2 ( x 2 − 3)
si : f '( x) = 0 ⇒ 5x 2 ( x 2 − 3) = 0 ⇒ x = 0 (v.c.); x = ±3(v.c.)

f ′′( x) = 20 x3 − 30 x ⇒ f ′′( x) = 10 x(2 x 2 − 3); si : f ′′( x) = 0 ⇒ 10 x(2 x 2 − 3) = 0 ⇒
x = 0 ( p. p.i.); x = ±

3
2

( p. p.i.) ⇒ x =

6
2

sust v.c. en f ′′( x) ⇒ f ′′(0) = 0 ⇒ en x = 0 ∃ extremo rel

 

f ′′(− 3) = −30 3< 0 ⇒ en x = − 3 ∃ (máximo rel )
f ′′( 3) = 30 3> 0 ⇒ en x = 3 ∃ (mínimo rel )
f ′′(1) = −8< 0 ⇒ en x = 1 ∃ (máximo rel )
Para localizar...