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Criterios de Convergencia para Series


1 Serie Geom´etrica

Sea (a.rn)n∈N una sucesi´on geom´etrica de t´ermino a y raz´on r. Se llama serie gem´etrica a la sucesi´onde sumas parciales asociada a una sucesion geom´etrica, es decir toda serie de la forma:
∞
P a.rn = a + a.r + a.r2 + . . . + a.rn + . . . con a = 0 , a, r R
n=0

Sea la serie geom´etrica,

∞
P a.rnsi:
n=0

1. r ≥ 1, la serie diverge a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0).

2. |r| < 1, la serie converge y su suma vale a .

3. |r| = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´anacotadas.

4. r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto a +∞.

2 Serie arm´onica

Se llama serie arm´onica a las serie


∞
P 1 y se llama serie arm´onicageneralizada a


∞
P 1 con

α > 0.
n=1 n
∞
n=1 nα
Sea la serie arm´onica generalizada,
P 1 si:


1. α ≥ 1, la serie diverge.

2. α > 1, la serie convege.
n=1 nα


3 Criterios de convergencia paraseries de t´erminos no negativos

A continuacion se nombrar´an algunos criterios para determinar la convergencia de series de t´erminos no negativos.

(a) Primer criterio de comparaci´on parala convergencia de series de t´erminos no

negativos: Sean
∞
P an y
n=1
∞
P bn dos series de t´erminos no negativos:
n=1

1. Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y tambi´en converge.
2.Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y tambi´en diverge.

∞
P bn converge entonces la seri
n=1

∞
P an diverge entonces la serie
n=1

∞
P an
n=1

∞
P bn
n=1

(b) Segundo criterio decomparaci´on: Sean
∞
P an y
n=1
∞
P bn dos series de t´erminos no
n=1
negativos tales que desde un cierto n0 en adelante se verifica: an+1 ≤ bn+1 , entonces:
an bn

1. Si


2. Si

∞
Pbn converge,
n=1
∞
P an diverge,

∞
P an converge.
n=1
∞
P bn diverge.
n=1
n=1

(c) Criterio del l´ımite para la convergencia: Sean
an

∞
P an y
n=1

∞
P bn dos series dadas, si
n=1...