Crvas Parametricas

Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas
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ANALISIS
MATEMATICO
II (CiBEx - F´ısica M´
edica)
2014 – Segundo Semestre
GU´
IA Nro. 2: FUNCIONES VECTORIALES

1.

Curvas param´
etricas y funciones vectoriales de un par´
ametro

Con frecuencia consideramos una curva en el plano como una l´ınea trazada sobre un papel, tal como puede ser
una l´ınea recta, una curva parab´
olicao una circunferencia. Nos preguntamos ahora, ¿c´
omo podemos describir
(anal´ıticamente) una curva en el plano? Es evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos por
donde pasa, los puntos que forman la curva. En algunos casos, podemos usar para ello las coordenadas
cartesianas de los puntos P (x, y) de la curva, expresando y como una funci´
on de x y = F (x), por
ejemplo y = 1 + x2 , ´o x como una funci´
on de y x = G(y), por ejemplo x = cos2 y , o dar una relaci´
on
entre x e y que defina impl´ıcitamente a una variable en t´erminos de la otra H(x, y) = 0, por ejemplo
x2 + y 2 − 16 = 0 . Hay curvas que se representan m´
as f´
acilmente mediante otro sistema de coordenadas [por
ejemplo, r = 2 cos θ usando coordenadas polares]. Algunas curvas se describen mejor cuando lascoordenadas
x e y est´
an dadas en t´erminos de una tercera variable t llamada par´
ametro [x = f (t) e y = g(t), recordar
las ecuaciones param´etricas de una recta en el plano vistas en la Secci´
on 5.1 de la Gu´ıa 1]. Podemos,
tambi´en, indicar cada punto de una curva haciendo uso de la asociaci´
on de P con el punto final del vector
−−→
r = OP ubicado en posici´
on can´
onica. En esta gu´ıadiscutiremos la forma param´etrica de describir curvas,
mediante una representaci´
on vectorial.

1.1.

Curvas param´
etricas

Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino
como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descripta

Figura 1: Curva en el plano
por una ecuaci´on de la forma y = F (x) (¿porqu´e?), sabemos que las coordenadas x e y de la posici´
on
de la part´ıcula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existir´an funciones f y g de la variable
(o par´
ametro) t, tales que x = f (t) e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una forma
conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones param´etricas de la curva en el plano:
x = f (t)
y = g(t)
2-1

Cadavalor de t determina un punto (x, y) en el plano. Cuando t var´ıa (en un intervalo de n´
umeros reales),
el punto (x, y) = (f (t), g(t)) se mueve generando una curva en el plano.
EJEMPLO 1: Las ecuaciones param´etricas
x = t2 − 2t
y = t+1
con t real, definen una curva plana. Describir y graficar la curva para los siguientes casos: a) si
t ∈ (−∞, +∞); b) si t ∈ [0, 4].
En este ejemplo tenemos f (t) =t2 − 2t, g(t) = t + 1.
a) A cada valor del par´
ametro t ∈ R, le corresponde un punto sobre la curva. Por ejemplo, para t = 0
se tiene x = f (0) = 0 e y = g(0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t = 0 es
(0, 1). Podemos as´ı evaluar x e y para varios valores del par´
ametro, por ejemplo asignar a t los valores
−2, −1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x, y) = (f (t), g(t))en el plano. Si unimos estos puntos
para producir una curva continua obtenemos la Figura 2(a), en la que las flechas indican el sentido en
el que se van generando los puntos de la curva a medida que t aumenta su valor (indique el valor de
t que corresponde a cada punto marcado en la curva).

Figura 2: Ejemplo 1. (a) El par´
ametro t adopta cualquier valor real. (b) El par´ametro t var´ıa en [0,4].
Observando la figura, parece que la curva trazada fuera una par´
abola. ¿C´
omo podemos comprobarlo?
Una forma es reescribir las ecuaciones param´etricas de la curva usando (s´
olo) coordenadas cartesianas,
esto es, buscar una relaci´
on entre x e y, sin el par´
ametro t. Para ello debemos eliminar t en las
ecuaciones dadas. En este ejemplo es posible hacerlo, por ejemplo despejando t = y − 1...