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ESPERANZA MATEMÁTICA o VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La esperanza matemática de una variable aleatoria X (también llamada valor esperado o media) se denota con E(X) y se define, para variables discretas, como la media ponderada de los valores de X, donde las ponderaciones o pesos son las probabilidades correspondientes a los valores.

En otras palabras, si x1,x2,… son los valoresposibles de X y p1,p2,… sus correspondientes probabilidades, entonces E(X)=x1p1+x2p2+…

Nota: si la X puede tomar un número infinito de valores la suma es de hecho una serie y debe ser convergente.

Esperanza Matematica ¶
6.1. Esperanza Matem¶atica de Variables Aleatorias Discretas.
Recordemos que una variable aleatoria X es discreta, si existe una sucesi¶on (xn)n¸1 de n¶umeros realestales que
X1
n=1
P(X = xn) = 1:
Comenzaremos por de¯nir la noci¶on de valor esperado para variables aleatorias discretas.
De¯nici¶on 6.1 Sea X una variable aleatoria discreta con la notaci¶on anterior, y llamemos pn = P(X =
xn); n = 1; 2; : : : . Diremos que existe el valor esperado, la media o la esperanza matem¶atica de X si la serie
X1
n=1
jxnjpn (6.1)
es convergente. En ese caso, elvalor esperado se denota E(X) y se de¯ne mediante la serie
E(X) =
X1
n=1
xnpn: (6.2)
Ejemplo 6.1
Sea X el resultado de lanzar un dado, entonces X toma valores f1; 2; 3; 4; 5; 6g con probabilidad uniforme
en este conjunto. Por lo tanto
E(X) =
X6
i=1
i
1
6
=
21
6
= 3:5
Observamos que en este caso el valor esperado no es un valor posible de la variable aleatoria.146 CAPITULO 6.ESPERANZA MATEM ¶ ATICA ¶
6.1.1. Propiedades
La esperanza matem¶atica de una variable discreta tiene las siguientes propiedades.
Propiedad 1. Si X ¸ 0 y existe E(X), entonces E(X) ¸ 0.
Es obvio que si X ¸ 0, los valores xn que ¯guran en la suma (6.1) son no-negativos, y si dicha serie es
convergente, la suma tambi¶en ser¶a no-negativa.
Propiedad 2. Si X es una variable aleatoria acotada entoncesexiste E(X).
Decir que la variable aleatoria X es acotada es decir que existe una constante C tal que
jxnj · C para todo n;
y, por lo tanto,
XN
n=1
jxnjpn · C
XN
n=1
pn · C:
Es decir que las sumas parciales de la serie (6.1) resultan estar acotadas por la constante C. Ahora
bien, recordemos que para una serie de t¶erminos no-negativos { es el caso de la serie (6.1) { es necesario
ysu¯ciente para que converja que sus sumas parciales est¶en acotadas. Como las de (6.1) lo est¶an, esta
serie es convergente y el valor esperado de X existe.
Observaci¶on 6.1 Una primera observaci¶on es que si una variable aleatoria toma s¶olamente un n¶umero
¯nito de valores, entonces su esperanza matem¶atica est¶a bien de¯nida, ya que (6.1) se reduce a una
suma ¯nita.
Por otra parte, no siempreexiste el valor esperado de una variable aleatoria. Por ejemplo, consideremos
la variable aleatoria X tal que
xn = 2
n
y pn = P(X = 2
n
) =
1
2
n
; n ¸ 1:
Es claro que
X1
n=1
pn = 1:
Se tiene que xnpn = 1, para todo n y por lo tanto, la serie (6.1) es divergente, de modo que esta
variable aleatoria no tiene esperanza matem¶atica.
En algunos textos el lector encontrar¶a que, en casoscomo el de este ejemplo, en el cual la variable
aleatoria X es no-negativa y la serie (6.1) diverge, se conviene en de¯nir E(X) = +1 en lugar de hacer
como hemos optado, esto es, decir que no existe la esperanza.
Se debe hacer especial atenci¶on, sin embargo, en que si la variable no es no-negativa (o, en general, de
signo constante), no hay esa opci¶on convencional. Por ejemplo, si modi¯camosel ejemplo considerado
y tomamos la variable aleatoria Y tal que
P(Y = 2
n
) =
1
2
n+1
P(Y = ¡2
n
) =
1
2
n+1
n ¸ 1;
entonces, nuevamente (6.1) diverge y no existe E(Y ).
Propiedad 3. Sea A un evento y 1A la variable aleatoria de¯nida por:
1A(!) =
(
1 si ! 2 A
0 si ! =2 A6.1. ESPERANZA MATEMATICA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. 147 ¶
Entonces
E(1A) = P(A):
Es claro...