CTGEOM 2S IIIP



II. LA
VII. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos triángulos rectángulos que conociendo sus ángulos, sus lados están en una determinada relación.
Existen varios triángulos notables pero en este año sólo estudiaremos a tres de ellos.
Los cuales son:

*T. Rectángulo de 45° y 45°.
*T. Rectángulo de 30° y 60°.
*T. Rectángulo de 37° y 53°.


1. TEOREMA DE PITÁGORAS

Uno de los teoremasmás importantes de la geometría es el Teorema de Pitágoras, llamado así en honor al matemático griego Pitágoras.
El teorema dice:
Si ABC es un triángulo rectángulo, entonces “El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos”.










Se cumple:






Ejemplo:
- Calcula “x”.







Solución:
92 + 122 = x281 + 144 = x2
225 = x2
15 = x

2. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45 Y 45°
La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo 45° - 90°- 45° es el producto de por la longitud de un cateto. Los catetos son de igual medida.









Ejemplo:

- Calcula “x”









Solución:
*Por ser triángulo notable de 45°:
4 = 1k
4 = K
x= k  x = 4

3. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 30° Y 60°

La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30° - 90° - 60° es el doble del cateto opuesto de 30°.









Ejemplo:
- Calcula “x”









Solución:
*Por ser triángulo notable de 30° y 60°:
12 = 1k
12 = k
x = 2k  x = 24

4. TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 37° Y 53° :

La relación de sus lados de un triángulo rectángulo de 37° -90° -53° es como de 3, 5 y 4.











Ejemplo:
- Calcula “x”










Solución:
*Por ser triángulo notable de 37° y 53°:
24 = 4k
6 = k
x = 5k  x = 30

IMPORTANTE:
“En todo triángulo se cumple que a mayor ángulo se le opone mayor lado y a menor ángulo se le opone menor lado “.

PROBLEMAS RESUELTOS


1).- Calcula “x”.





Solución:
*Aplicando Pitágoras:

32 + 32 = x2
9 +9 = x2
18 = x2
3= x

2).- Calcula “x”.







Solución:
*Aplicando Pitágoras:

x2 + (x+1)2 = (x+2)2
x2 – 2x – 3 = 0
x = 3 y x = -1

Una longitud nunca puede ser negativa, por lo tanto:
x = 3
3).- Calcula “”








Solución:












* Como en el triángulo de 37° y 53° a la hipotenusa se le opone 5k lo igualamos a 25.
5k= 25
K = 5
m = 3k n = 4k
m = 3(5) n = 4(5)
m = 15 n = 20







4).-Calcula “x”.









Solución:
* Trazamos la altura.










Por ser triángulo notable de 45°:

x = 8
5).-Calcula “x”










Solución:










* “y” por ser lado que se le opone al ángulo de 30° es : y = 5
Por lo tanto:como “x” es el lado que se opone a 53° es igual a:
x = 4
6).- Calcula “x”










Solución:
*Por ser un triángulo notable de 45° “x” es:
4= 1k  x = 1k
x =(4)  x = 8

7).- Calcula “x”








Solución:
Por ser triángulo rectángulo notable de 37° y 53° a “x” se le opone 3k y a “y” se le opone 4k.
Por lo tanto:

8).- Calcula “x”, si su perímetrodel
triángulo es 48.






Solución:
*Por ser triángulo rectángulo notable de 37° y 53° se cumple:









*El perímetro es la suma de sus lados del triángulo por lo tanto:
3a + 4a + 5a = 48
12a = 48

a = 4
CUESTIONARIO
PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL I
1).- Calcula “x”








a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e)14

2).- Calcula “x”.










a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14


3).- Calcula “x”.










a) 26 b) 27 c) 25
d) 29 e) 210


4).- Calcula “x”.











a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5


5).- Calcula “x”.












a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16



6).- Halla el valor de “a”.












a) 10 b) 4 c) 10
d) 5 e) 5


7).-Halla el valor de “x”....