Cuál es la mejor opción para fundamentar las matemáticas entre las corrientes del Logicismo


¿Cuál es la mejor opción para fundamentar las matemáticas entre las corrientes del Logicismo, el Intuicionismo y el Formalismo?

Introducción.
Desde la aparición del análisis matemático, en la época de Newton y Leibniz, la matemática vivió una época en la que todo era posible. El cálculo se desplegaba en todo su poder, tanto abstracto como aplicado en los problemas de la física naciente. Larigurosidad no caracterizó el avance de esos años en el análisis, sino el éxito de los métodos adoptados. Los matemáticos no se había preocupado de la condiciones de continuidad, convergencia de series, o derivabilidad de funciones.
En el siglo XIX aparecieron algunas sombras sobre los resultados obtenidos hasta entonces. Curvas continuas sin derivadas, líneas que llenaban una superficie,algunas paradojas del infinito, llevaron a los matemáticos a buscar fundamento de lo que habían hecho hasta el momento.
Del libro "El intuicionismo matemático" de Marta Martínez de la Fuente, se lee:
Los iniciadores de esta fundamentación, como Cauchy, Weierstrass, Dedeking y Cantor, ya habían introducido las primeras exigencias constructivistas en la aritmetización del análisis, cuando se descubrióinesperadamente la existencia de ciertas antinomias en la teoría de Cantor, que amenazaban con socavar los fundamentos de la lógica y la matemática.
Se hacía necesario, pues, reconstruir el edificio matemático analizando minuciosamente sus bases, controlando los métodos de razonamiento y verificando para cada caso en particular los resultados obtenidos. En resumen, se trataba de eliminar al máximola intuición, por medio de los llamados métodos "constructivos".
El problema de la existencia en el mundo matemático fue uno de los temas que encararon:
El problema del estudio de los fundamentos se concretó alrededor de la noción de "existencia matemática", más precisamente, en la búsqueda del criterio que hiciera legítimo afirmar cuándo un objeto existe verdaderamente desde el punto de vistamatemático.
El logicismo, el intuicionismo y el formalismo fueron las tres direcciones que se siguieron.

Logicismo.
El logicismo una teoría que estudia desde el punto de vista filosófico los fundamentos de las matemáticas, debida sobre todo a los trabajos de A.N. Whithead y Bertrand Russell, que exponen en su obra conjunta Principia Mathematica (1910-1913). Según estos autores, que siguenplanteamientos iniciados por Peano y Frege, todos los conceptos fundamentales de la aritmética, el álgebra, el análisis matemático, etc., se fundamentan en nociones lógicas, de modo que el sistema de axiomas matemáticos puede fundarse igualmente en unos cuantos axiomas lógicos.
Para K. GÖDEL y según para él pensaban lo mismo Santo Toma y Aristóteles que:
La lógica matemática es una ciencia que esanterior a las demás, que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias.
El proyecto logicista lo explican Putnam y Benacerraf en su Philosophy of Mathematics así
“El logicismo (Frege-Russell-Whitehead) surge en referencia a otro problema: la naturaleza de la verdad matemática. Los logicistas esperaban mostrar, contra Kant, que las matemáticas no tienen un “objeto”, quetrata sólo con relaciones entre conceptos, y que estas relaciones eran “analíticas”.
Para Frege, en efecto, la reducción lógica es sinónimo de analiticidad .Para Russell la reducción logicista libraba las matemáticas de una intuición subjetiva. Sin embargo, por lo menos en una primera etapa de su evolución filosófica, la lógica era referida al mundo.
La logificación es la reducción de losconceptos matemáticos a conceptos lógicos. Un ejemplo de esto es la reducción del concepto de número. Esta doctrina (logicismo) afirma que cualquier ente matemático puede ser definido mediante conceptos lógicos.
En el logicismo primero se logifica el ente matemático y se presupone como existente.
Para algunos (como Körner) existen dos vertientes del logicismo: nominalista en Russell y realista en...