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CUADERNO DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS III

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA
AGOSTO 2005
ITAM,DM-A-94.1

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En la presente edición se ha tenido el mismo propósito de la edición anterior de apoyar a los
alumnos en la aplicación del Algebra Lineal en sus respectivas áreas de estudio.
Yolanda I. Pretelin Muñoz de Cote

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PREFACIO

Éste es un cuaderno de apoyo para el curso de Matemáticas III.Se trata de una recopilación de
ejercicios y aplicaciones cuyo propósito es enriquecer el material del curso. La disposición de los
temas obedece al orden del temario y al final de cada capítulo se encuentran las soluciones de los
problemas.
Este trabajo es el resultado de un esfuerzo conjunto del Departamento Académico de
Matemáticas. Cabe decir que en él las pretensiones de originalidad sonnulas, y que agradecemos
siempre las correcciones y comentarios que maestros y alumnos nos hacen llegar.
Trinidad Martínez Cornejo preparó esta edición del cuaderno y a ella le agradecemos su excelente
trabajo.
Patricia Souza

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MATEMATICAS III
1.

GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

2.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.1
2.2
2.3
*2.4

3.

3.2
3.3
3.4
* 3.5

Suma de matrices.Producto de un escalar por una matriz. Propiedades de las
operaciones.
Producto de matrices. Propiedades.
Matrices particulares: diagonales, triangulares, simétricas, y elementales.
Transpuesta de una matriz. Propiedades.
Inversa de una matriz. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de operaciones
elementales Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales nxn.
La matriz de incidencia de unagráfica dirigida.

DETERMINANTES
4.1
4.2
4.3
4.4

5.

Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.
Interpretación geométrica.
Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan en sistemas de mxn.
Pivotes. Grados de libertad.
Planteamiento de problemas. Modelo de Leontief de insumo-producto.
Sistemas homogéneos. Análisis de las soluciones de un sistema homogéneo.
Sistemas no homogéneos ysistemas homogéneos asociados. Forma paramétrica
de las soluciones.

ALGEBRA DE MATRICES
3.1

4.

Vectores. Representación geométrica.
Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.
Interpretación geométrica. Propiedades de las operaciones.
Producto punto. Norma. Vectores ortogonales.
Ecuaciones paramétrica y normal de la recta.
Ecuaciones paramétrica y normal del plano.

Concepto ydesarrollo por cofactores.
Propiedades de los determinantes.
Matriz adjunta. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la matriz adjunta.
Regla de Cramer.

EL ESPACIO VECTORIAL R n
5.1
5.2

Vectores en R n . Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.
Propiedades de las operaciones.
Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Ejemplos.
4

5.3
*5.4

6.

ORTOGONALIDAD
6.1
6.2
6.36.4

7.

Producto punto en R n . Norma. Vectores ortogonales.
Proyección sobre un vector.
Proyecciones y el método de mínimos cuadrados. Ajuste de rectas, planos y
polinomios.
Ecuación normal de un hiperplano. Poliedros en R n .

INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
7.1
7.2
7.3
7.4
* 7.5
7.6
* 7.7

8.

Combinación lineal de un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal.
Bases ydimensión. Interpretación geométrica.
Rango y nulidad, espacio nulo, espacio de los renglones y espacio de las columnas de
una matriz.

Problemas de programación lineal en dos variables. Análisis gráfico.
Programas lineales de maximización y de minimización en forma canónica y en
forma estándar.Variables básicas y no básicas. Variables de holgura.
Método Simplex.
Planteamiento y solución de programaslineales.
Problema general de Programación Lineal. Método de las dos fases.
Dualidad.
Introducción al análisis de sensibilidad.

VALORES Y VECTORES PROPIOS
8.1
8.2
8.3
8.4

Definiciones. Polinomio característico. Cálculo de valores y vectores propios.
Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio.
Diagonalización de matrices.
Cadenas de Markov.

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BIBLIOGRAFIA
TEXTO
S....