CUADERNOS DE ALGEBRA

´
CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 1
Grupos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogot´a

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Justo Pastor, mi padre.

Contenido
Pr´
ologo

iv

1. Grupos y subgrupos
1.1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales
1.2. Grupos . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Generaci´on de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

1
1
5
9
12
15
17

.
.
.
.
.
.

24
24
26
28
2930
31

2. Grupos c´ıclicos
2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . .
2.2. Orden y periodo de un elemento
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . .
2.4. Propiedades . . . . . . . . . . .
2.5. Generadores . . . . . . . . . . .
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

3. Subgrupos normales y homomorfismos
3.1.Subgrupos normales . . . . . . . . . .
3.2. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . .
3.3. Homomorfismo de grupos . . . . . . . .
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

..
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

34
34
35
38
40

4. Teoremas de estructura
4.1. Teorema fundamental de homomorfismo
4.2. Teorema de factorizaci´on . . . . . . . . .
4.3. Teorema de correspondencia . . . . . . .
4.4. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . .
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

..
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

42
42
44
46
47
52

iii

iv

CONTENIDO

5. Automorfismos
5.1. Automorfismos interiores
5.2. Teorema de Cayley . . .
5.3. Ejemplos . . . . . . . . .
5.4. Ejercicios . . . . . . . ..
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

6. Grupos de permutaciones
6.1. Ciclos . . . . . . . . . . . . .
6.2. El grupo alternante An . . . .
6.3. Sistemas de generadores . . .
6.4. El grupo dih´edrico Dn , n ≥ 3
6.5. Subgrupos normales del grupo
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

. . . . . .
. . .. . .
. . . . . .
. . . . . .
Dn , n ≥ 3
. . . . . .

7. Productos y sumas directas
7.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . .
7.2. Producto cartesiano: caso infinito
7.3. Suma directa externa . . . . . . .
7.4. Suma directa interna . . . . . . .
7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
..

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
....