Cuadrado Latinos

Estadística II

Ingeniería Industrial

INB-0408

Unidad 3 Diseño de bloques

3. Diseños en Bloques Completos al azar
3.1. Diseño en Cuadrado Latino
3.2. Diseño en Cuadrado Grecolatino
3.3. Uso de un software estadístico

3.1. Diseño en Cuadrado Latino

Para el diseño de Cuadro Latino, se supone que es necesario comparar tres tratamientos A, B y C en presencia de otras dos fuentesde variabilidad. Por ejemplo, los tres tratamientos pueden ser tres métodos de soldadura para conductores eléctricos y las dos fuentes de variabilidad pueden ser:

1) Diferentes operarios
2) La utilización de diferentes fundentes para soldar.

Si se consideran tres operarios y tres fundentes, el experimento puede disponerse así:

| |Fundente 1 |Fundente 2|Fundente 3 |
|Operador 1 |A |B |C |
|Operador 2 |C |A |B |
|Operador 3 |B |C |A |

aquí cada método de soldadura se aplica sólo una vez por cada operario junto con cada fundente.
Un arregloexperimental como el descripto de denomina Cuadro Latino. Un Cuadro Latino n x n es una arreglo cuadrado de n letras distintas, las cuales aparecen sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Nótese que en un experimento en Cuadro Latino de n tratamientos es necesario incluir n2 observaciones, n por cada tratamiento.
Un experimento en Cuadro Latino sin repetición da solo (n-1).(n-2) grados delibertad para estimar el error experimental. De modo que tales experimentos son efectuados en contadas ocasiones sin repetición cuando n es pequeño.
Si existe un total de r repeticiones, el análisis de los datos presupone el siguiente modelo, donde yij(k)l es la observación en el i-ésimo renglón, en la j-ésima columna, de la l-ésima repetición y el subíndice k indica el k-ésimo tratamiento:yij(k)l = μ + αi + βj + γk + ρl + εij(k)l para i, j, k = 1, 2, …, n y l = 1, 2, …, r

con las restricciones:
[pic]
donde:
← es la gran media
αi es el efecto de la i-ésima fila o renglón
βj es el efecto de la j-ésima columna
γk es el efecto del k-ésimo tratamiento
ρl es el efecto de la l-ésima repetición
εij(k)l variable aleatoriaindependiente normal con μ = 0 y varianza común σ2.

nótese que por los “efectos de los renglones” y los “efectos de las columnas” se entienden los efectos de las dos variables extrañas y que se incluyen los “efectos de la repetición” como una tercera variable extraña. k está entre paréntesis ya que para un diseño de Cuadro Latino dado, k es automáticamente determinada cuando i y j se conocen.
Lahipótesis principal a probar es la Hipótesis Nula γk = 0, para toda k, es decir la Hipótesis Nula de que no existe diferencia en la eficacia de n tratamientos.
También se puede probar si αi = 0, para todo i y βj = 0, para todo j con el fin de comprobar si las dos variables extrañas tienen algún efecto sobre el fenómeno que se está considerando.
Mas aún, se puede probar es la Hipótesis Nula ρl = 0,para toda l, contra la alternativa que no todas las ρl son iguales a cero, y esta prueba del efecto de las repeticiones puede ser importante si las partes del experimento , que representan los Cuadros Latinos individuales, fueron realizados en distintos días, a diferentes temperaturas, etc..
Las fórmula a aplicar son:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]SSE = SST – SS(Tr) – SSR – SSC – SS(Rep)

donde:

[pic] total de las r.n observaciones en todos los i-ésimos renglones
[pic] total de las r.n observaciones en todas las j-ésimas columnas
[pic] total de las n2 observaciones en todos las l-ésimas repeticiones
[pic] total de las r.n observaciones relativas a los j-ésimos tratamientos
[pic] es el gran total de las...