Cuadrados Grecolatinos

Capítulo 8

Diseños en cuadrados greco-latinos
8.1.

Introducción

El modelo en cuadrado greco-latino se puede considerar como una extensión del
cuadrado latino en el que se incluye una tercera variable de control o variable de bloque.
En este modelo, como en el diseño en cuadrado latino, todos los factores deben tener el
mismo número de niveles K y el número de observaciones necesariassigue siendo K 2 . Este
diseño es, por tanto, una fracción del diseño completo en bloques aleatorizados con un
factor principal y 3 factores secundarios que requeriría K 4 observaciones.
Los cuadrados greco-latinos se obtienen por superposición de dos cuadrados latinos del
mismo orden y ortogonales entre sí, uno de los cuadrados con letras latinas el otro con
letras griegas. Dos cuadradosreciben el nombre de ortogonales si, al superponerlos, cada
letra latina y griega aparecen juntas una sola vez en el cuadrado resultante.
En el Apéndice C se muestra una tabla de cuadrados latinos que dan lugar, por superposición de dos de ellos, a cuadrados greco-latinos. Notamos que no es posible formar
cuadrados greco-latinos de orden 6.
La Tabla 5-8 ilustra un cuadrado greco-latino para K =4
Tabla 5-8.
Cuadrado greco-latino
Aα Bβ Cγ Dδ
Dγ Cδ Bα Aβ
Bδ Aγ Dβ Cα
Cβ Dα Aδ Bγ

1

2

Diseños en cuadrados greco-latinos

8.2.

Planteamiento del modelo

En un diseño en cuadrado greco-latino la variable respuesta yij (hp) viene descrita
por la siguiente ecuación

 i = 1, 2 . . . , K


j = 1, 2 . . . , K
yij (hp) = µ + τ i + β j + γ h + δ p + ǫij (hp)
,
(8.1)
h = 1, 2 . . . , K


p = 1, 2 . . . , K

donde

µ es un efecto constante, común a todas las unidades.
τ i es el efecto producido por el i-ésimo nivel del factor fila. Dichos efectos están
sujetos a la restricción i τ i = 0.
β j es el efecto producido por el j -ésimo nivel del factor columna. Dichos efectos están
sujetos a la restricción j β j = 0.
γ h es el efecto producido por elh-ésimo nivel del factor letra latina. Dichos efectos
están sujetos a la restricción h γ h = 0.
δ p es el efecto producido por el p-ésimo nivel del factor letra griega. Dichos efectos
están sujetos a la restricción p δ p = 0.
ǫij (hp) son variables aleatorias independientes con distribución N (0, σ).
La notación yij (hp) indica que los niveles i y j determinan los niveles h y p para
un cuadradogreco-latino especificado. Es decir, los subíndices h y p toman valores que
dependen de la celdilla (i, j ).
Se utiliza la siguiente notación:
N = K 2 es el número total de observaciones.
El total y el promedio de todas las observaciones
y.... =

yij (..)
i

y.... =
¯

j

y....
K2

El total y el promedio para cada fila
K

yi... =

yij (..)
j =1

yi... =
¯

yi...
K(8.2)

8.3 Estimación de los parámetros del modelo

3

El total y el promedio para cada columna
K

y.j.. =

y.j.. =
¯

y.j..
K

(8.3)

y..h. =
¯

y..h.
K

(8.4)

y...p =
¯

yij (..)

y...p
K

(8.5)

i=1

El total y el promedio para cada letra latina
y..h. =

yij (h.)
i,j

El total y el promedio para cada letra griega
y...p =

yij (.p)
i,j

y..h.se obtiene sumando las K observaciones en las que la letra latina se ha fijado al
nivel h.
y...p se obtiene sumando las K observaciones en las que la letra griega se ha fijado al
nivel p.
Comentario 8.1
Uno de los inconvenientes del cuadrado greco-latino, al igual que el cuadrado latino, es
que requiere el mismo número de niveles para los cuatro factores que intervienen. Además
no haycuadrados greco-latinos de dimensión 6.

8.3.

Estimación de los parámetros del modelo

Siguiendo el mismo proceso que en los diseños anteriores se obtienen los siguientes
estimadores máximos verosímiles de los parámetros del modelo
yij (..)
i

µ=
1
τi =
K
1
βj =
K

j

K2

= y.... ,
¯

(8.6)

K

yij (..) − µ = yi... − y.... ,
¯
¯

(8.7)

yij (..) − µ = y.j.. − y.......