Cuadrados mágicos

Cuadrados mágicos
William Peña


Cuadrados mágicos de 3x3
Cuadricula formada por tres columnas y tres filas, en donde la suma de cada una de sus columnas, de cada una de sus filas y de cada una de las diagonales de el mismo resultado.
Para determinar el valor de la suma de cada terna (constante mágica), se calcula la sumatoria de los números 1 al 9 y se divide en tres.




1515




15




15





15
15
15

15


Algoritmos para resolver un cuadrado mágico de nxn siendo n impar
Antes de aplicar un algoritmo de solución, debemos conocer la constante mágica k, (la suma que debe dar cualquier fila, columna o diagonal). El valor de k lo podemos hallar aplicando una de las siguientes fórmulas.





Primer método.
1. Formar ternascon los números del 1 al 9 que sumen 15.

1+5+9 1+6+8 2+4+9 2+5+8
2+6+7 3+4+8 3+5+7 4+5+6

2. Organizar las ternas teniendo en cuenta el siguiente análisis.
En el centro del cuadrado colocar el número que más veces se repite en las ternas que se formaron anteriormente, en este caso el número cinco (5).





5





En las esquinas del cuadrado colocar losnúmeros que se repiten tres veces en las ternas (2,4,6,8), de tal forma que los números en las diagonales sean aquellos que únicamente se encuentran en una terna (2 y 8) y (4 y 6), en una misma diagonal no se pueden colocar (6 y 8) ni (2 y 4)

8

6

5

4

2



Finalmente terminar de ubicar las ternas y comprobar las respectivas sumas

8
1
6
3
5
7
4
9
2


Segundo método.1. Agregar una celda en al inicio y al finalizar en la columna central y en la fila central.



Ubicar los números del 1 al 9 en orden sobre las tres diagonales que se formaron.




9



8

6

7

5

3

4

2



1




2. Trasladar los números que están por fuera del cuadrado, a la respectiva celda opuesta.




9



8
1
6

7
3
5
7
3

4
9
21







Tercer método (Louvre)
Se coloca el 1 en la parte central de la fila superior y vamos rellenando en diagonal hacia arriba y a la derecha, es decir, el 2 se coloca en la posición (3,3), (tercera columna), (tercera fila). Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar esta se encuentra ocupada, colocamos el número justo debajo del último número que se hacolocado y así sucesivamente.
1. Colocar el 1 en el cuadro central de la fila superior.


1








2. El número 2 se coloca en la siguiente columna, fila inferior. Posición (3,3).

1






2

3. Para colocar el siguiente número suponemos que la primera columna esta enseguida de la tercera columna, por consiguiente el 3 quedaría en la posición (2,1), (segunda fila, primeracolumna).

1

3




2
4. El siguiente número se colocaría en la posición (1,2), pero como está ocupada el 4 quedaría en la parte inferior del último número que se ha colocado ósea en la posición (3,1).

1

3


4

2

5. Completando la diagonal tenemos.

1
6
3
5

4

2

6. Si suponemos que la primera columna esta enseguida, la posición para el 7 estaría ocupada porconsiguiente el 7 se ubica debajo del último número colocado, posición (2,3).


1
6
3
5
7
4

2

7. Al suponer que la primera columna esta enseguida, la posición para el número 8 sería (1,1).

8
1
6
3
5
7
4

2

8. Finalmente el nueve quedaría en la siguiente columna fila inferior, posición (3,2).
8
1
6
3
5
7
4
9
2


Cuarto método
En todo cuadrado mágico de 3x3 secumplen:
La constante mágica k es equivalente a tres veces la celda central.
La suma de cada una de las filas es igual a la constante mágica (k).
La suma de cada una de las columnas es igual a la constante mágica (k).
La suma de cada una de las diagonales es igual a la constante mágica (k).
La suma de las s diagonales, la columna central y la fila central es equivalente a cuatro veces la...