Cuadrados minimos
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Publicado: 12 de marzo de 2012
AJUSTE DE RECTAS A TRAVÉS DEL MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS.
El método de los cuadrados mínimos permite determinar los parámetros que mejor ajustan una relación entre dos variables, basado en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de las variables obtenidos experimentalmente y los obtenidos a través de la relación propuesta [pic]donde las X[pic] sonlos valores de la variable obtenidos a través de la relación propuesta, mientras que las Xi son los valores experimentales, n es el número de datos.
En el caso en el que la relación entre las variables sea lineal ésta se expresa con la siguiente ecuación:
Y=mx + b
De donde el método de los cuadrados mínimos es usado para determinar el mejor valor de la pendiente (m) y de laordenada al origen (b). Es necesario hacer notar que para el presente caso es posible minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias para la variable "y" y para la "x". Para simplificar los cálculos se minimizará exclusivamente la suma de los cuadrados de las diferencias de la variable "y", para poder hacer esto es necesario que la incertidumbre relativa de cada valor de la variable "x"sea más pequeña que la incertidumbre relativa de su correspondiente valor de la variable "y", con el fin de que las diferencias entre los valores calculados y los experimentales en la variable "x" sean despreciable respecto a las mismas diferencias entre los valores de la variable "y".
Se tiene entonces que la diferencia entre cada uno de los valores de "y" calculados y los experimentalesse puede expresar como:
Yi-(mxi+b)
Al elevar al cuadrado cada diferencia y hacer la suma se tiene:
[pic]
Vale la pena recordar que al derivar una función con respecto a alguna variable, cuando la derivada se hace cero se tiene un máximo o un mínimo, entonces si se desea buscar el mínimo de[pic] se debe de cumplir
[pic]
y
[pic]
es de hacer notar que el símbolo dediferencial utilizado en las anteriores expresiones (∂) es diferente al acostumbrado (d), esto se debe a que en el presente caso se tienen derivadas parciales [pic] ya que la función depende de más de una variable, sin embargo, desde el punto de vista operativo el manejo es similar. En el presente caso la derivada con respecto a ”m” se hace considerando a “b” como un constante y para la derivada conrespecto a “b” la pendiente se considera como una constante, de donde se llega a:
[pic][pic]
haciendo la multiplicación, en el miembro derecho, por -xi e igualando a cero:
[pic]
distribuyendo el símbolo de suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:
[pic]
(1)
siguiendo el mismo procedimiento para la derivada parcial respecto a b se tiene:
[pic]
haciendo la multiplicación,del miembro derecho, por -1 e igualando a cero:[pic]
[pic]
distribuyendo el símbolo de una suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:
[pic][pic]
se tiene [pic]al sustituir este resultado se llega a:
[pic]
(2)
de la ecuación 1 y 2 se tiene el sistema de ecuaciones:
[pic]
[pic]
que al encontrar la solución para “m” se obtiene la pendiente y al encontrar lasolución para “b” se obtiene la ordenada al origen. Estos parámetros generan la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Existen varios métodos para solucionar el sistema de ecuaciones, aquí se hará uso del método por determinantes.
El determinante del sistema es:
[pic]
[pic]
de donde la pendiente es igual a:
m=[pic]
calculando el determinante delnumerador y sustituyendo el valor del determinante del sistema (Δ) se llega a:
[pic]
(3)
siguiendo los mismos pasos para determinar el valor de la ordenada la origen se llega a:
[pic]
[pic]
(4)
La pendiente y la ordenada al origen han sido obtenidas de datos experimentales, se hace pues necesario determinar su desviación típica, con la cual es posible determinar su...
El método de los cuadrados mínimos permite determinar los parámetros que mejor ajustan una relación entre dos variables, basado en hacer mínima la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de las variables obtenidos experimentalmente y los obtenidos a través de la relación propuesta [pic]donde las X[pic] sonlos valores de la variable obtenidos a través de la relación propuesta, mientras que las Xi son los valores experimentales, n es el número de datos.
En el caso en el que la relación entre las variables sea lineal ésta se expresa con la siguiente ecuación:
Y=mx + b
De donde el método de los cuadrados mínimos es usado para determinar el mejor valor de la pendiente (m) y de laordenada al origen (b). Es necesario hacer notar que para el presente caso es posible minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias para la variable "y" y para la "x". Para simplificar los cálculos se minimizará exclusivamente la suma de los cuadrados de las diferencias de la variable "y", para poder hacer esto es necesario que la incertidumbre relativa de cada valor de la variable "x"sea más pequeña que la incertidumbre relativa de su correspondiente valor de la variable "y", con el fin de que las diferencias entre los valores calculados y los experimentales en la variable "x" sean despreciable respecto a las mismas diferencias entre los valores de la variable "y".
Se tiene entonces que la diferencia entre cada uno de los valores de "y" calculados y los experimentalesse puede expresar como:
Yi-(mxi+b)
Al elevar al cuadrado cada diferencia y hacer la suma se tiene:
[pic]
Vale la pena recordar que al derivar una función con respecto a alguna variable, cuando la derivada se hace cero se tiene un máximo o un mínimo, entonces si se desea buscar el mínimo de[pic] se debe de cumplir
[pic]
y
[pic]
es de hacer notar que el símbolo dediferencial utilizado en las anteriores expresiones (∂) es diferente al acostumbrado (d), esto se debe a que en el presente caso se tienen derivadas parciales [pic] ya que la función depende de más de una variable, sin embargo, desde el punto de vista operativo el manejo es similar. En el presente caso la derivada con respecto a ”m” se hace considerando a “b” como un constante y para la derivada conrespecto a “b” la pendiente se considera como una constante, de donde se llega a:
[pic][pic]
haciendo la multiplicación, en el miembro derecho, por -xi e igualando a cero:
[pic]
distribuyendo el símbolo de suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:
[pic]
(1)
siguiendo el mismo procedimiento para la derivada parcial respecto a b se tiene:
[pic]
haciendo la multiplicación,del miembro derecho, por -1 e igualando a cero:[pic]
[pic]
distribuyendo el símbolo de una suma (∑) y dividiendo la expresión entre 2:
[pic][pic]
se tiene [pic]al sustituir este resultado se llega a:
[pic]
(2)
de la ecuación 1 y 2 se tiene el sistema de ecuaciones:
[pic]
[pic]
que al encontrar la solución para “m” se obtiene la pendiente y al encontrar lasolución para “b” se obtiene la ordenada al origen. Estos parámetros generan la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Existen varios métodos para solucionar el sistema de ecuaciones, aquí se hará uso del método por determinantes.
El determinante del sistema es:
[pic]
[pic]
de donde la pendiente es igual a:
m=[pic]
calculando el determinante delnumerador y sustituyendo el valor del determinante del sistema (Δ) se llega a:
[pic]
(3)
siguiendo los mismos pasos para determinar el valor de la ordenada la origen se llega a:
[pic]
[pic]
(4)
La pendiente y la ordenada al origen han sido obtenidas de datos experimentales, se hace pues necesario determinar su desviación típica, con la cual es posible determinar su...
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