Cuadratura de gauss



Cuadraturas de Gauss

A diferencia de las Fórmulas de Newton-Cotes, que utilizan una partición equiespaciada del intervalo de integración fijada a priori, las diferentes técnicas deCuadraturas de Gauss se basan en determinar una serie de puntos del intervalo de tal manera que se optimice tanto la precisión como el “gasto" computacional requerido, de hecho la precisión de las cuadraturasgaussianas es aproximadamente el doble de la obtenida con una Formula de Newton-Cotes cerrada que utilice el mismo número de puntos.


















Cuadratura de Gauss-Hermite:De manera análoga a lo expuesto en la sección anterior, nos plantearemos ahora una fórmula de cuadratura para integrales de la forma:

De tal forma que la fórmula de la cuadratura:
≈ w1f( 1) +… + wnf( n)
Sea exacta en el caso de que f() sea un polinomio de grado menor o igual que 2n-1.
Razonamientos análogos a los antes expuestos conducen a que en este caso los nodos:
x1,…,xn sean lasraíces del polinomio de Hermite de grado n correspondiente.
Ho() = 1 H1() = 2 H2(x) = H3(x)=
Hn+1() = 2 Hn() – 2nHn-1()

Ejemplo:
La formula decuadratura de Gauss-Hermite de 4 putnos se escribe,


Donde, c1=0,081312 c2=0,80491 c3=0,80491 c4=0,081312
x1=-1,65068 x2=-0,52464 x3=0,52464x4=1,65068

Aplicar la cuadratura anterior al cálculo de la integral:

Solución: De acuerdo con la regla,


donde .



Cuadraturas de Gauss-Legendre:

La idea fundamental de este método esla siguiente: Se trata de plantear una expresión de la forma:


Donde los nodos sean puntos del intervalo [1,-1] (en principio desconocidos) y de tal manera que resulte exacta para el caso deque sea un polinomio de grado menor o igual que .

Analizaremos de entrada el caso más sencillo, con . Sean los nodos y y
los correspondientes pesos, tendremos:



y la formula ha...